Вариационно-асимптотический метод

из "Вариационные принципы механики сплошной среды "

Приемы асимптотического анализа функционалов изложены в настоящем параграфе. Эти приемы носят в основном эвристический характер и не имеют пока строгого математического обоснования. Однако в задачах, допускающих точные решения или исследованных другими методами, имеется полное соответствие результатов. [c.129]
Метод асимптотического -анализа функционалов, который мы будем дальше называть вариационно-асимптотическим методом, позволяет с единой точки зрения рассматривать задачи о минимуме функций конечного числа переменных с малым параметром и задачи с малым параметром для дифференциальных уравнений вариационного типа. [c.129]
В применении к задачам с дифференциальными уравнениями вариационно-асимптотический метод имеет ряд преимуществ по сравнению с известными асимптотическими подходами, прежде всего за счет свойственной всем вариационным методам простоты и лаконичности анализа, выигрыш от которых тем заметнее, чем сложнее система дифференциальных уравнений. Дело в том, что вместо системы дифференциальных уравнений при вариационном подходе асимптотическому анализу подвергается фактически одна функция — лагранжиан. [c.129]
Ее можно интерпретировать как условия равновесия двух слабо взаимодействующих пружинок, к одной из которых приложена внешняя сила. [c.129]
Исходная система является системой уравнений вариационного типа левые части уравнений представляют производные от функции / = = 1/2(х2 + 2е(х -у)2 +У2) а сами уравнения есть условия стационарности функции f.-x. Для приближенной системы уравнений не существует функции f(x, у, е), производные от которой по х и у были бы левыми частями приближенных уравнений. Подобная ситуация типична в теории дифференциальных уравнений с малым параметром. [c.130]
Приближенные уравнения, которые получаются при помощи асимптотического анализа функционалов, автоматически всегда имеют вариационную структуру. [c.130]
Определенное значение имеет вариационный подход в асимптотических задачах и в связи с проблемой коротковолновой экстраполяции, которая будет обсуждаться в 2,4 гл. IV. [c.130]
В основе вариационно-асимптотического метода лежит естественная и нередко использовавшаяся в физике идея о возможности отбрасывать малые члены в энергии. Однако для ее применения надо еще научиться распознавать малые члены, уметь анализировать ситуации, когда после отбрасывания малых членов теряются единственность или существование решения, и, кроме того, понимать, как малые члены влияют на следующие приближения и как строится итерационный процесс. [c.130]
Мы сформулируем вариационно-асимптотический метод в виде ряда правил, которые будут проиллюстрированы на нескольких примерах, другие приложения встретятся в последующих главах. [c.130]
Функция /о (м) = м2 + м3 имеет две стационарные точки и = 0 и и - —2/3. Нетрудно проверить, что они действительно являются пределами при е - О стационарных точек функции/(м, в). [c.131]
Подчеркнем также, что слагаемые, которые были несущественными при построении главного члена асимптотического разложения, могут стать главными при определении следующих членов разложения. [c.131]
Тогда слагаемое В (и, е) является второстепенным по сравнению с А (и, е) для всех стационарных точек. Мы будем называть такие слагаемые глобально второстепенными. [c.132]

Вернуться к основной статье