Исследование задачи на сечении

из "Вариационные принципы механики сплошной среды "

Исследование задачи на сечении. Рассмотрим задачу о минимуме функционала 0. Эта задача есть задача о минимуме квадратичного функционала по трем функциям уа и у, которые определены в области поперечного сечения S и удовлетворяют ограничениям (5.48). [c.342]
Для построения классической теории стержней достаточно найти только минимальное значение ч (-у, Па, 2) функционала в как функцию параметров 7, а и 2. Однако в ряде вопросов представляет интерес определение и минимизирующих функций. [c.342]
Уравнение Эйлера минимаксной задачи (5.62) суть два уравнения второго и четвертого порядков для х и г. [c.343]
Как правило, рассматриваемая вариационная задача может быть решена только численными методами. Вместе с этим имеется ряд важных частных случаев, когда она допускает существенные упрощения или полное исследование. Основные упрощения связаны со свойствами однородности, наличием плоскости упругой симметрии, перпендикулярной оси стержня и центральной симметрией упругих характеристик и геометрии поперечного сечения. Начнем с рассмотрения однородных стержней. [c.343]
Эта система аналогична системе уравнений (5. 67), и ее решение дается формулой (5.69). [c.345]
Неравенство (5.80) позволяет установить некоторые экстремальные свойства крутильной-жесткости. [c.347]
Более существенные заключения можно сделать, если дополнительно поперечное сечение и упругие свойства стержня обладают центральной симметрией. Говорят, что поперечное сечение центрально-симметрично, если, наряду с каждой точкой с координатами f , оно содержит точку с координатами - f a. Подчеркнем, что сечение может быть центрально-симметричным и не иметь двух осей симметрии (два таких сечения изображены на рис. 53). [c.348]
Функционалы 01 и 0 можно минимизировать независимо. Нижняя грань х пропорциональна у2, нижняя грань 0 есть квадратичная форма по Н 1а. Итак, 2Ф1 = Е у2 + Е Р 1а 1р, и энергия не содержит перекрестных членов между у, 1а и П. Как легко видеть, аналогичный вывод получается, если сохранить предположение о четности Са(3т6 и допустить, что (7а(3 имеют произвольную четность, а Са(3 — либо четные, либо нечетные функции f a. [c.348]
Критерий обращения Ф в нуль. Квадратичная форма Фх тождественно равна нулю не только для стержней с постоянными коэффициентами Пуассона, но также и для некоторых стержней с переменными коэффициентами Пуассона. Докажем следующее утверждение. [c.349]
Здесь через га обозначены постоянные, равные- [с а]. [c.349]
Формулы (5.94) и (5.95) задают разности постоянных со и аа в областях 5 и52. Ограничения на уа (5.48) полностью определяют эти постоянные. [c.350]
Функции уа являются допустимыми и обращают функционал 0i в нуль. Следовательно, Ф . = 0. [c.350]
что аналогичные рассуждения справедливы и для нескольких линий разрыва. [c.351]
Соотношения (5.103) получаются дифференцированием равенства (5. 89) вдоль линии разрыва. [c.351]
Следствие 2. Для трансверсально изотропного тела Ф = 0 тогда и только тогда, когда коэффициент Пуассона v постоянен. [c.351]

Вернуться к основной статье