Выпуклость графика функции. Точки перегиба

из "Математические методы в экономике Издание 2 "

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких - выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную. [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х е (а Ь) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (а Ь), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной (см.рис.5). Сама функция Дх) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз). [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х (а Ь) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (а Ь), если он расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной (см.рис.4.6). Сама функция Дх) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх). [c.65]
Из рис. 4.6 аналогичным образом заключаем, что на интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная Дх) возрастает. Можно показать, что имеют место и обратные утверждения. [c.66]
Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (а Ь) дважды дифференцируемая функция =Дх), x e (а, Ь) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз). [c.66]
Допустим для определенности, что/fx) 0 для всех х е (а Ь). Рассмотрим производную Дх) как функцию отх, а/ ( ) - как ее первую производную. Тогда функция Дх) убывает на интервале (а Ь), а следовательно, по отмеченному выше график функции у = Дх) на этом интервале является выпуклым вверх. Аналогично, если / (х) 0 для всех х е (a, ti), то график функции у — Дх) на интервале (а Ь) является выпуклым вниз. [c.66]
Исследовать на выпуклость график функции у = Дх) означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная / (х) сохраняет свой знак. Заметим, что / (х) может менять свой знак лишь в точках, где /1(х)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода. [c.66]
Глава 4. Применение дифференциального исчисления... [c.67]
Определение. Точка графика непрерывной функции fix), в которой существует касательная и при переходе через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой - ниже, т.е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (см. рис. 4.8). [c.67]
Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция у = Дх) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале (а Ь) и точка (х0, /Ц,)), где х0 е (а Ь), является точкой перегиба графика функции j(x), TO/ (XO) = 0. [c.68]
Так как точка (л Дх)) является точкой перегиба, то слева и справа от х0 функция f (х) имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем/Ц,) = 0. [c.68]
Достаточное условие существования точки перегиба. Если функция у = Д. ), х е (а Ь) дважды дифференцируема на интервале (а Ь) и при переходе через х0 е (а, Ь) вторая производная / ( ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = х0 является точкой перегиба. [c.68]

Вернуться к основной статье