Формальное представление игр

из "Математические методы в экономике Издание 2 "

В каждой партии ифок выбирает некоторую свою стратегию х Х , в результате чего складывается набор стратегий х — дс,, х2 ... хн , называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список За, За, Против, За. .. , полученный в итоге проведенного голосования. [c.220]
Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение Н=-НГ Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры. [c.221]
В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа - значения выигрыша 2-го игрока. [c.221]
если pt рг. Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2(/ ,,/ 2). [c.222]
Соответственно, если Игрок 2 придерживается своей минимаксной стратегии, его проигрыш будет не больше минимаксного значения (называемого верхней ценой игры), т.е. [c.223]
Л min max Л v i В случае, если верхняя цена игры равна нижней, т.е. [c.223]
Игрок 1 рассчитывает, что если он выберет первую стратегию (т.е. первую строку матрицы Я,), то противник может выбрать свою вторую стратегию (второй столбец), так что выигрыш будет равен 1. Если же он выберет вторую стратегию, то противник может избрать первую стратегию, так что выигрыш будет равен -1. Проанализировав полученные значения, Игрок 1 останавливается на своей первой стратегии, которая обеспечивает ему максимальный гарантированный выигрыш, равный 1. [c.223]
Следовательно, в этой игре существуют совместимые выборы, т.е. [c.224]
Существующие доказательства этой теоремы основаны на теореме о неподвижной точке, или свойстве отделимости выпуклых множеств (см., например, Г.Н.Дюбин, В.Г.Суздаль. Введение в прикладную теорию игр). [c.225]
Как и для вполне определенных иф, стратегия х Ифока 1 называется максиминной стратегией, стратегия Игрока 2 у - минимаксной стратегией, значение v - ценой игры в случае, когда v= О, ифа называется справедливой. [c.225]
Вообще говоря, оптимальные стратегии легко находятся для небольших игр, но вычисления становятся достаточно сложными с ростом числа стратегий. Для поиска оптимальных стратегий рекомендуется несколько подходов. [c.226]
В итоге, если можно найти решение для полученной ифы, то его легко использовать для решения исходной ифы, просто приписав исключенным строкам и столбцам нулевые вероятности. [c.227]
Пусть Игрок 1 избирает свою первую стратегию с вероятностью х и вторую стратегию с вероятностью (1-х). Если Игрок 2 выбирает свою первую стратегию, то (из первого столбца матрицы) математическое ожидание выигрыша для Игрока 1 будет равно v, =х- (1-х) = 2х- 1. [c.228]
Каждое из этих уравнений может быть изображено графически отрезком прямой линии в области [0,1] на графике с координатами х и v,. Они представлены на левой части рис.1 соответственно как отрезки у4,/4, и А2А, которые пересекаются в точке Р. При данном х на рис.1 показаны две величины v,, которые Игрок 1 может получить, если Игрок 2 применяет свои чистые стратегии. Промежуточные значения v,, соответствующие точкам между этими графиками, получаются, если Игрок 2 применяет смешанные стратегии. Меньшая из этих величин, соответствующая каждому значению х, показывает тот минимум, который может получить Игрок 1, выбирая стратегию (х,(1-х)). Следовательно, линия Л,Л4 2 показывает платеж, который Игрок 1 может гарантированно получить при любой стратегии Игрока 2. Игрок 1 выбирает такое значение х, чтобы достичь наивысшей точки. Для графика на рис. 13.1 этой точкой является точка Р, для которой х=0,5 и v =0. [c.228]
Аналогично может быть проанализирована игра для Игрока 2, который использует свою первую стратегию с вероятностью у, а вторую - с вероятностью (1-у). В правой части рис. 13.1 ломанная линия B-,QBt представляет наибольший проигрыш Игрока 2 при различных выборах у. Игрок 2 выбирает у так, чтобы достичь низшей точки на этой линии, т.е. точки Q, для которой у = 0,5 и v2 = 0. Следовательно, игроки в орлянку должны применять свои стратегии с одинаковой вероятностью 0,5, и цена игры при этом будет равна нулю, т.е. описанная игра справедлива. [c.229]

Вернуться к основной статье