Теория игр

из "Математические исследования операций в экономике "

Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока. [c.188]
Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п. [c.188]
Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей (6.5). [c.190]
В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2 3 5). [c.190]
Числа интерпретируются как вероятности применения игроком I стратегий 1,2. т, которые, в отличие от смешанных, также называют чистыми стратегиями. [c.191]
В дальнейшем через будем обозначать множество допустимых смешанных стратегий игрока I, определяемое условием 6.7, а через Y — определяемое условием 6.8 множество допустимых смешанных стратегий игрока П. [c.191]
Справедлива фундаментальная теорема Дж. Неймана, которую шы приведем без доказательства. [c.193]
Теорема 6.1 (основная теорема матричных игр). Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях. [c.193]
Таким образом, мы получаем возможность применять все возможности аппарата линейного программирования для поиска оптимальных стратегий обоих игроков. [c.194]
Достаточно легко проверить, что задачи (6.16)-(6.17) и (6.18)-(6.19) образуют двойственную пару. Здесь в определенном смысле мы вернулись к проблемам, уже рассматривавшимся во второй главе, а именно к взаимосвязи между наличием решения у некоторой оптимизационной задачи и существованием седловой точки у соответствующей функции Лагранжа. В данном случае аналогичная связь прослеживается между седловой точкой игры и решением пары задач оптимизации. [c.194]
изображенные на рис. 6.1, задают зависимости среднего выигрыша игрока I от значения вероятности х , с которой он выбирает свою первую стратегию, для случаев, когда его противник выбирает первую, вторую или третью чистую стратегию. Тогда значениям минимального гарантированного дохода первого игрока соответствует нижняя огибающая всех трех прямых. Согласно принципу максимина, оптимальному выбору игрока I будет соответствовать наивысшая точка, лежащая на данной огибающей, отмеченная на рисунке как (л ,, г). Зная ее, можно определить оптимальную смешанную стратегию первого игрока х = (х, 1-х 2) и цену игры, равную г. [c.195]
Очевидно, что поиск решения в игре т х 2 осуществляется аналогичным образом с точностью до наоборот строятся графики ожидаемого проигрыша игрока II, находится их верхняя огибающая и т. д. [c.196]
Безусловно, графический способ в силу ограниченности круга задач, к которым он может быть применен, имеет скорее теоретическое, чем практическое значение. Однако он хорошо иллюстрирует содержательную сторону процесса поиска решения в игре. [c.196]

Вернуться к основной статье