Теория оптимального управления

из "Математические исследования операций в экономике "

Имеется некоторый объект, состояние которого характеризуется двумя видами параметров — параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависимости от выбора последних процесс управления объектом протекает тем или иным образом. Качество процесса управления оценивается с помощью некоторого функционала 1, на основе чего ставится задача найти такую последовательность значений управляющих параметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение. [c.197]
К сказанному выше необходимо добавить замечание о тесной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим программированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга. [c.198]
Примером первых является управление самолетом как единым целым, а вторых — управление непрерывным технологическим процессом. [c.198]
В зависимости от типа исходов, к которым приводят применяемые управления, выделяют детерминированные и стохастические задачи. В последнем случае результатом управления является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления. [c.198]
Аналогично классифицируются задачи управления объектами с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и состояния меняются дискретно, получили название задач управления конечными автоматами. Наконец, при определенных условиях могут ставиться задачи управления смешанными системами. [c.199]
Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические. [c.199]
Рассмотрим два простейших примера задач управления экономическими объектами. [c.199]
Задача распределения ресурсов. Имеется т складов с номерами i (i e 1 т), предназначенных для хранения однородного продукта. В дискретные моменты времени еО (Г-1) происходит его распределение между объектами-потребителями (клиентами) с номерами /, / е 1 п. Пополнение запаса в пунктах хранения продукта в /-и момент времени определяется величинами a, /el m, a потребности клиентов в нем равняются Ь], ] е 1 п. Обозначим через с ц — затраты на доставку единицы продукта из /-го склада /-му потребителю в момент времени t. Также предполагается, что продукт, поступивший на склад в момент t, может быть использован, начиная со следующего момента (Ж). Для сформулированной модели ставится задача найти такой план распределения ресурсов x tj j , который минимизирует суммарные расходы на доставку потребителям продукции со складов в течение полного периода функционирования системы. [c.199]
Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим примером фазовых ограничений, поскольку связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и f+1. В общем случае может устанавливаться зависимость для группы параметров, принадлежащих нескольким, возможно несмежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, например, при учете в моделях фактора запаздывания поставок. [c.201]
Один из приемов, применяемых для решения экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи. [c.202]
Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и ограничения (6.28) являются линейными относительно z , в то же время функция g(t, х ), входящая в (6.28), может быть произвольной. Последнее свойство делает задачу нелинейной даже при f = 1, т. е. в статическом варианте. [c.202]
Таким образом, задача поиска оптимального управления сводится к поиску управлений, подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оптимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких z, jt, А/, удовлетворяющих системе условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максимума Понтрягина. [c.203]
Применяя теорему (6.2), а также положения теории нелинейного программирования, касающиеся связи между решением экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы z, x являются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29). [c.204]
Предложенный метод относится к фундаментальным результатам теории оптимального управления и, как уже это упоминалось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простейшей. В то же время очевидны и пределы его эффективного использования, которые целиком зависят от возможности решения задачи (6.33). [c.204]

Вернуться к основной статье