Задачи на вероятности событий

из "Натуральные, целые, рациональные числа и их применение в финансовой экономике и исчислении вероятностей "

Вообще, достоверное событие Г2 можно рассматривать как множество всех возможных исходов в данной задаче, а любое событие А - как некоторое подмножество множества О, состоящее из исходов, благоприятных к А. Вероятность Р(А) всегда лежит в пределах от нуля до единицы. Рассматриваемая нами классическая вероятность — число рациональное (классический случай — число исходов конечно и все исходы равновероятны). В общем же случае вероятность может быть любым действительным числом от нуля до единицы. [c.26]
Рассмотрим несколько операций, которые могут быть применены к событиям. Суммой событий А и В называется событие, обозначаемое А + В (иногда A U В ), которое наступает в том и только том случае, когда наступает по крайней мере одно из событий А или В, т.е. либо А, либо В, либо А и В вместе. Всегда А + В = В + А. [c.26]
Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое АВ (иногда А П В ), которое наступает в том и только том случае, когда наступают одновременно и А, и В. Всегда АВ = В А. [c.27]
События Аи В называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, т.е. АВ = 0. [c.27]
Разностью событий А В называется событие, заключающееся в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Разность событий может быть записана также в таком виде А В = АВ. [c.27]
В данном примере события Am В совместны. [c.27]
Из данных формул можно вывести и другие. Например, поскольку А + В = А+(В А) и события А, В А несовместны, то по свойству 3) получается Р(А + В] = Р(А) + Р(В А), откуда следует, что Р(В А) = Р(А + В) - Р(А). [c.28]
Условные вероятности. Для нахождения вероятности произведения двух событий Р(АВ) часто используют понятие условной вероятности. [c.28]
Условная вероятность Рв(А) — это вероятность наступления события А, если известно, что событие В произошло (событие В не должно быть невозможным). Иногда условную вероятность обозначают так Р(А В] (читается вероятность А при условии В]. Вообще говоря, условная вероятность Рд(А) может отличаться от Р(А). [c.28]
Как найти условную вероятность Допустим, что событие В произошло. Тогда можно считать, что В — достоверное событие. Событие А может наступить, а может и не наступить, но в том случае, если исход благоприятен событию А, то этот исход должен быть заведомо благоприятен событию В (ведь известно, что событие В наступило). Это означает, что множество благоприятных исходов составляет событие АВ, при том, что событие В будет достоверным. [c.28]
В только что разобранном примере с кубиком события А и В независимы. [c.29]
Замечание. Если Р(-В) = 0, то условная вероятность Рв(А) не определена. [c.29]
Понятие случайной величины и ее математического ожидания. [c.30]
Пусть в зависимости от того, какой исход Wj наступил, рассматривается некоторое число Xj ( г = 1, . . . , п). В таком случае говорят, что рассматривается (дискретная) случайная величина X, которая в результате испытания может принимать значения Xi с вероятностью pi (условимся, что мы будем рассматривать только такие случайные величины, для которых числа Xj и р — рациональные). Отметим, что до испытания мы не можем сказать, какое именно значение примет случайная величина X, а можем лишь говорить о том, что X примет одно из значений Xi с заданной вероятностью р . Это событие (X принимает значение Xj) обозначается так X = Xj. После испытания становится известно, какое именно значение приняла случайная величина X, и ни о какой вероятности речи уже не идет (можно сказать, что вероятность наступившего события равна единице ). [c.30]
Пример 2. Пусть случайная величина X — число выпавших очков при одном подбрасывании кубика. Найдем математическое ожидание Ы(Х . [c.31]
Этот пример показывает, что случайная величина может не принимать своего среднего значения. [c.32]
Пример 3. Игрок в казино делает ставку 300 у.е. на следующих условиях если при подбрасывании кубика выпадает 6 очков, то игрок получает 600 у.е., если выпадает 4 или 5 очков, то игрок получает 360 у.е., а если выпадает не более 3 очков, то игрок ничего не получает. Найти математическое ожидание получаемых игроком денег. [c.32]
Это означает, что при ставке в 300 у.е. игрок в среднем получает 220 у.е., т.е. в среднем за один раз он проигрывает 300 — 220 = 80 у.е. (хотя при удачном розыгрыше он может отыграть у казино 600 — 300 = 300 у.е.). Такие условия игры достаточно выгодны для казино - ведь при большом количестве игроков каждый из них в среднем теряет 80 у.е. за один розыгрыш, хотя среди игроков могут быть как выигравшие, так и проигравшие. [c.32]

Вернуться к основной статье