Хеджирование. Верхние и нижние цены

из "Краткие сведения по стохастической финансовой математике "

Предположим, что целью инвестора является покрытие некоторого платежного обязательства в момент N. Его стратегия, т.е. портфель ценных бумаг, создается в момент п = 0 и состоит в том, как в моменты п = 1,2. 7V— 1 менять объемы банковских вкладов и пакетов акций в зависимости от реализовавшейся рыночной цены. [c.23]
Платежное обязательство может также зависеть от рыночной цены в момент N, например, если это проданный опцион. Таким образом, как портфель ценных бумаг, так и платежное обязательство моделируются случайными величинами, зависящими от текущих рыночных цен. В этом смысле платежное обязательство выражается случайной величиной Дт, являющейся. Т7 — измеримой. Начальный капитал портфеля обозначим х, это неотрицательная величина. [c.23]
Определение 3. Верхним (х, /к)-хеджем называется портфель ценных бумаг тг = (/3, 7), У которого капитал в момент п = 0 равен ж, а в момент п = N удовлетворяет неравенству Х /лг почти наверное. [c.23]
Нижним (х, /к)-хеджем называется портфель ценных бумаг тг = ((3, f), у которого капитал в момент п = О равен ж, а в момент п = N удовлетворяет неравенству XN /N почти наверное. [c.24]
Не для всякого начального капитала х существует хотя бы один верхний хедж или хотя бы один нижний хедж . Отсутствие такого хеджа означает, что соответствующее множество, Н или Н, пусто. Ясно, что если для начального капитала х существует верхний хедж, то он существует и для любого большего начального значения х х. Для нижних хеджей наоборот если множество H (X,/N) непусто, то непусто множество Я (ж2, /W) с любым ж2 х. [c.24]
При продаже платежного обязательства (например, опциона) его верхняя и нижняя цены оказываются границами, в рамках которых возможен торг между покупателем и продавцом о цене покупки. Следующие рассуждения показывают, что вне промежутка цен [С, С ] одна из сторон может получить чистую безрисковую прибыль, что, конечно, не устраивает другую сторону. [c.24]
Сложнее обстоит дело с нижней ценой платежного обязательства. Пусть покупатель купил обязательство /N по цене х С (/лг). Выберем у так, чтобы х у С (/лг). Тогда существует такой портфель тг, что XQ = у и Х /лг. В этой ситуации покупателю следует поискать на рынке инвестора, который готов вложив в начальный момент п=0 капитал у получить в момент n=N капитал Х . При ликвидности рынка, наличия на нем участников с разнообразными интересами, ожиданиями и сроками оборота такой инвестор вполне может найтись. Этот инвестор платит покупателю у (передает в управление эти средства) за обязательство возвратить в момент N капитал Х - Чистый безрисковый выигрыш покупателя составит не менее у — х 0. [c.25]
Таким образом, область цен [О, (/N)) за платежное обязательство /N дает покупателю возможность получения безрискового дохода, против чего может справедливо возражать продавец. Область цен (С (/ ), со) дает продавцу возможность получения безрискового дохода, против чего может справедливо возражать покупатель. Следовательно, приемлемая цена за платежное обязательство лежит в области [С (/лг)5 (/N)], устанавливающей рамки переговоров об окончательной цене за платежное обязательство. [c.25]
Особо интересен случай, когда (/N) = (/N), который возникает, если существует хотя бы один совершенный хедж. Тогда дальнейшие переговоры теряют смысл, и стороны должны принять цену х = (/N) = (/N) за платежное обязательство /л как единственно справедливую. Такое обязательство Дг называется воспроизводимым. [c.25]
Полнота рынка выглядит весьма редким явлением, однако имеется ряд признанных математических моделей рынка, которые обладают свойством полноты. В этих моделях цена любого (ограниченного) платежного поручения однозначно вычисляется. Поэтому модели полных рынков активно применяются для теоретических расчетов цен платежных обязательств. [c.25]

Вернуться к основной статье