Дискретный марковский процесс

из "Вероятностное моделирование в финансово-экономической области "

В этом параграфе мы познакомимся с основными первоначальными понятиями и соответствующей им терминологией теории марковских случайных процессов. [c.7]
Рассматриваемые ниже процессы обладают определенным свойством и представляют собой базу вероятностных моделей специального вида. Они названы марковскими по имени впервые их исследовавшего математика А.А. Маркова . [c.7]
Напомним для начала понятие случайной величины. [c.7]
Определение 1.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно из числовых значений известного множества, однако заранее не известно, какое именно. [c.7]
Значит, аргументом случайной функции является время, а ее значением — случайная величина. Таким образом, случайная функция характеризует изменение случайной величины в процессе опыта. [c.8]
Далее нам придется иметь дело с системами различной природы, в основном с экономическими и финансовыми. [c.8]
В общем случае понятие системы можно определить следующим образом. [c.8]
Определение 1.3. Под системой 5 будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. [c.8]
Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще говоря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состояние S(t) системы 5. [c.9]
Определение 1.4. Если система 5с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе 5 протекает случайный процесс. [c.9]
Если множество состояний не более, чем счетно (т.е. конечно s.sn или счетно s.sn. ), то оно дискретно. Если множество состояний более, чем счетно (например, имеет мощность континуума), то оно непрерывно. [c.9]
В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множества состояний переход системы из состояния в состояние осуществляется непрерывно (постепенно, плавно). [c.9]
В дальнейшем мы будем рассматривать только системы с дискретным множеством состояний, предполагая при этом, что в каждый фиксированный момент времени система может пребывать только в одном из своих возможных состояний. [c.9]
Определение 1.6. Случайный процесс, протекающий в системе 5, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия, состоящим в том, что для каждого момента времени ta вероятность любого состояния S(t) системы 5 в будущем (при t ta) зависит только от ее состояния S(t0) в настоящем (при ) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t t0). [c.10]
Свойство отсутствия последействия называют также свойством отсутствия памяти, а марковские процессы — процессами без памяти. [c.10]
В финансово-экономической практике нередко встречаются случайные процессы, которые с определенной погрешностью можно считать марковскими. [c.10]
Для анализа дискретных случайных процессов, протекающих в системе, удобно пользоваться графами ее состояний. [c.10]
Определение 1.7. Под графом состояний системы мы будем понимать множество квадратов (вместо которых можно взять, например, прямоугольники или кружки), условно изображающих состояния, внутри которых помещаются обозначения состояний, и множество стрелок возможных непосредственных переходов из состояния в состояние. [c.10]
Определение 1.8. Группа состояний системы называется множеством без выхода, если система.однажды попав в него, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое его состояние, но никогда не может выйти из этого множества. Множество без выхода называют также поглощающим множеством, или обобщенной ловушкой. В частности, если множество без выхода состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, которое также называется поглощающим состоянием, или ловушкой. [c.11]

Вернуться к основной статье