Марковская неоднородная цепь

из "Вероятностное моделирование в финансово-экономической области "

В этом параграфе будут выведены формулы для вычисления вероятностей состояний марковской неоднородной цепи, являющиеся обобщением соответствующих формул для однородной марковской цепи. [c.37]
Допустим, что в системе S протекает марковский дискретный процесс с дискретным временем. Пусть s. sn — возможные состояния системы S к tv tv. te... — шаги, в которые система может перескакивать из состояния в состояние, т.е. имеем марковскую цепь. [c.37]
Определение 3.1. Марковская цепь называется неоднородной, если переходные вероятности (хотя бы о на) зависят от номера шага k. [c.37]
Аналогично в правую часть полученного равенства вместо вектора (р,( -2). . pn(k-2)) подставим его выражение (р,( -3),. .., pn(k-3))-P(k-2), получающееся из формулы (3.2) заменой в ней k на k-2. [c.39]
Легко показать, что произведение стохастических матриц является стохастической матрицей. Поэтому в формуле (3.3) произведение P(l)-...-P(k) является стохастической матрицей, поскольку каждая из них в силу (3.1) — стохастическая матрица. А так как и матрица (р,(0),. ..,рп(0)) стохастическая, то матрица (р,( ). . pn(k)) также стохастическая, т.е. получим еще одно подтверждение выполнения нормировочного условия (2.1). [c.39]
Построим размеченные графы состояний, соответствующие моментам времени t — начало г-го квартала (i= 1,2,3,4) и найдем вероятности состояний банка в конце года, если в конце предшествующего года процентная ставка была 4%. [c.40]
В данном случае мы имеем марковскую дискретную неоднородную цепь. При построении размеченных графов состояний системы S указываем только стрелки тех непосредственных переходов из состояния в состояние, переходные вероятности которых отличны от нуля. Соответствующие графы изображены на рис. 3.1—3.4. [c.40]
У неоднородной марковской цепи переходные вероятности р. (k) (хотя бы одна из них) и, следовательно, матрица переходных вероятностей P(k) зависят от номера шага k. [c.44]
Вероятности состояний p. (k), z=l. п, неоднородной марковской цепи на каждом шаге k вычисляются либо по рекуррентной формуле (3.2), либо по формуле (3.3), где (р,(0).рп(0)) - вектор начального распределения вероятностей состояний системы. [c.44]
Марковская неоднородная цепь переходные вероятности вероятности состояний вектор начального распределения вероятностей состояний системы. [c.44]
Постройте размеченные графы состояний, соответствующие началам каждого месяца в квартале, и найдите вероятности состояний банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 3%. [c.45]
Вычисления проведите по формулам (3.2) и (3.3) и сравните их сложность. [c.45]
Замечание 3.3. В качестве ориентира выполнения этого задания можно взять пример 3.1. [c.45]
Предполагаем, что в течение каждого месяца рассматриваемого года фирма А остается в том же состоянии, в котором она оказалась в начале этого месяца. Таким образом, можно считать, что фирма А может переходить из состояния в состояние только в начале каждого месяца. Перед рассматриваемым годом фирма А находилась в состоянии s2. [c.45]
Замечание 3.4. Для применения формулы (3.2) или (3.3) надо составить матрицы переходных вероятностей Р (1), Р (2), Р (3), Р (4), Р (5) и Р (6), используя разметки соответственно графов на рис, 3.5,3.6,3.7,3.8, 3.9 и 3.10 так, как это делалось в примере 2.3. [c.48]

Вернуться к основной статье