Постановка задач и их взаимосвязь

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Если функция f(x,y) выпукла по х при всех фиксированных у EY и вогнута по у при всех фиксированных х е X, условия (1.4) носят также достаточный характер. Их можно переписать в виде вариационного неравенства VI(X х Y,F), где F = (V,/,-V,/). [c.31]
В общем случае указанная выше переформулировка является редким исключением, пример которого дают задачи математического программирования и связанные с ними задачи поиска седловой точки ассоциированных с ними функций Лагранжа с необязательно симметричными матрицами вторых производных. [c.31]
Важным частным случаем VI(X, F) является нелинейная задача о дополнительности. [c.31]
Геометрически нелинейная задача о дополнительности состоит в поиске неотрицательного вектора х такого, что образ F(x) также неотрицателен и ортогонален х. [c.32]
Эту задачу будем обозначать G P(X,F). [c.32]
Между обобщенной (а значит, и нелинейной) задачей о дополнительности и задачей решения вариационного неравенства существует следующая простая связь. [c.32]
Переходя здесь к пределу по t — оо, имеем F(x) rx 0 Уж е X, т. е. F(x) е X. Чтобы убедиться в равенстве F(x]Tх = 0, достаточно в последнее неравенство подставить х = х, а в неравенство (1.7) — точку х = 0. [c.32]
Из теоремы 1.1 следует, что любая обобщенная (и, в частности, нелинейная) задача о дополнительности есть задача решения некоторого вариационного неравенства. [c.32]
Обратное в общем случае не верно. Тем не менее в случае, когда X определяется как множество решений некоторой системы неравенств, т. е. [c.32]
Обратно, если все gi(x) выпуклы и пара (ж тт) есть решение задачи G P(Rn х М+ Я), ото ж -решение VI(X,F). [c.33]
В случае выпуклости функций gi(x), г = 1,. . . , т, эти условия приобретают также и достаточный характер. [c.33]
Обобщенная задача о дополнительности из теоремы 1.2 весьма специфична только часть ее переменных неотрицательна, а компоненты Я -отображения, соответствующие остальным переменным, должны равняться нулю. Такие задачи называют смешанными нелинейными задачами о дополнительности. [c.33]
Заметим, что все предположения теоремы 1.2 относятся только к функциям gi(x) никаких условий на отображение F не было наложено. Недостатком рассмотренного приведения VI(X, F) к задаче о дополнительности является рост числа неизвестных с п до п + т. С вычислительной точки зрения это может привести к росту затрат на нахождение искомого решения. Тем не менее такое приведение дает полезный инструмент анализа VI(X,F). [c.33]
Для вывода ряда теорем существования решения VI(X, F) и развития многих итерационных методов их отыскания полезно переформулировать задачу решения вариационного неравенства как классическую задачу о неподвижной точке. Для этого напомним понятие проекции точки на непустое выпуклое замкнутое множество. [c.33]
Несмотря на свою простоту, это утверждение носит важный характер. [c.34]
Вернемся к обсуждению вопроса о сведении задач о дополнительности и решении вариационного неравенства к обычным задачам оптимизации. Как уже отмечалось для последних, предположение о симметричности V F играет критическую роль. Однако для нелинейных задач о дополнительности имеет место следующий простой факт. [c.34]

Вернуться к основной статье