Теоремы существования и единственности решения

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Теорема 2.1. Пусть X — непустое компактное и выпуклое подмножество Rn, F — непрерывное отображение X в W1. Тогда задача VI(X,F) разрешима. [c.36]
В случае неограниченности X (как это имеет место, например, в нелинейной задаче о дополнительности) можно опираться на условия, заведомо обеспечивающие ограниченность самого множества потенциальных решений для того, чтобы гарантировать наличие хотя бы одного из них. Это достигается различными путями. Например, можно пытаться указать внутри X такое ограниченное множество D, вне которого ни одна точка не может быть искомым решением. Строгий результат выглядит так. [c.36]
Доказательство. Пусть В = х е W1 x 1 — единичный шар в R . По предыдущей теореме разрешима задача VI(X, F), где X — замыкание множества (Б+В)Г Х — компакт. В силу (2.1), ее решение х лежит в D. Покажем, что оно является и решением VI(X,F). [c.36]
В общем случае указать заранее нужное множество D трудно. Однако, если отображение F обладает некоторыми дополнительными свойствами, то такое указание делается возможным. Введем ряд определений. [c.36]
В общем случае задача VI(X, F) может иметь более одного решения. Если, однако, отображение F строго монотонно, такое решение единственно (если вообще существует). [c.37]
Теорема 2А. Если отображение F строго монотонно на X, то задача VI(X,F) не может иметь более одного решения. [c.38]
Ни одно из приведенных утверждений 2.3, 2.4 не гарантирует еще существования решения задачи VI(X,F). Общим приемом при выводе такого существования является опора на свойство коэрцитивности отображения F. Это свойство позволяет выбрать в качестве компакта D, требуемого в теореме 2.2, просто шар достаточно большого диаметра, пересекающийся с X. Таким образом, существование решения будет следовать из этой теоремы, и, более того, легко показать, что множество решений будет компактным. [c.38]
Теорема 2.5. Пусть X — непустое замкнутое выпуклое подмножество Rn и F — непрерывное отображение X в Rn. Если F коэрцитивно относительно X, то задача VI(X, F) имеет непустое компактное множество решений. [c.38]
Следующий результат показывает, что условие коэрцитивности можно несколько ослабить. [c.38]
Доказательство. Достаточно сослаться на теорему 2.2, взяв в качестве множества D множество D°, а в качестве у — вектор х. [c.38]
Поскольку сильная монотонность отображения влечет как коэрцитивность, так и строгую его монотонность, то, комбинируя теоремы 2.4 и 2.5, можно получить следующий результат. [c.38]
Следствие 2.1. Пусть X — непустое замкнутое выпуклое подмножество W1 и F — непрерывное отображение X в Rn. Если F сильно монотонно на X, то решение задачи VI(X, F) существует и единственно. [c.38]
В случае нелинейной задачи о дополнительности приведенные выше результаты можно усилить, благодаря специфике постановки последней. [c.39]
Рассмотрим два случая. [c.39]
Заметим, что в качестве множества R в только что доказанной теореме можно использовать пересечение R с шаром радиуса R. Доказательство не изменится. [c.39]

Вернуться к основной статье