Достаточные матрицы

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Следует из свойства 1 и того, что РРТ = Е. [c.76]
Следует из свойства 2 и определения классов RS, S. [c.76]
Свойство 5. Если М — строчно(столбцово)-достаточная матрица, то такой же будет и матрица DMD, где матрица D — диагональная. [c.76]
Свойство 6. Каждая главная подматрица строчно(столбцово)-достаточной матрицы сама строчно(столбцово)-достаточна. [c.76]
Свойство 7. Все главные миноры строчно(столбцово)-достаточной матрицы не отрицательны. [c.77]
Действительно, для вектора х = (1, — аЪ 1 — )т, где 8 О, верно х (М х) О, но XI(M X)I 0. Аналогично для М2. [c.77]
Свойство 10. Пусть М — строчно-достаточная матрица. Если тц = О при некотором г, причем ш 0 для всех j = 1,. .., те, то т 0 для всех j = 1,. .., те. [c.77]
В самом деле, в силу свойства 6 достаточно доказать это утверждение при те = 2. По свойству 3 без ограничения общности можно считать г = 1. В силу свойства 7, ш22 0. Поэтому случай, когда ш21 = 0, вытекает из свойства 9. Если же ш21 О, то по свойству 7 неравенство ш12 0 невозможно. Тем самым всегда ш12 0. [c.77]
Метод главных исключений основан на идее перебора базисных решений системы (1.2), удовлетворяющих условиям дополнительности (1.3), но, возможно, не удовлетворяющих условиям (1.1). [c.77]
В представлении (1.4) будем говорить о переменных w как о базисных, а о переменных z — как о независимых (небазисных). [c.78]
Вообще говоря, нас интересуют только строчно-достаточные матрицы. Однако нам удобнее получить следующий результат вначале для столбцово-достаточных матриц. [c.78]
Теорема 1.1. Пусть Маа — невырожденная подматрица матрицы М. Если М столбцово-достаточна, то такой же будет и М = = ра (М). [c.78]
Перейдем теперь к тому результату, который нам действительно нужен. [c.79]
Теорема 1.2. Пусть Маа — невырожденная главная подматрица матрицы М. Если М строчно-достаточна, то такой же будет и М = ра (М). [c.79]
Остается применить свойство 5. [c.79]

Вернуться к основной статье