![Векторы х и у называются собственным вектором (столбцом) и собственным вектором-строкой А, соответствующими собственному значению Л. Собственные векторы обычно нормируются некоторым образом, чтобы сделать их единственными, например так, чтобы х х = у у = 1 (когда х и у — вещественные). Не все корни характеристического уравнения могут быть различными. Каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Когда корень (собственное значение) появляется больше одного раза, он называется кратным собственным значением] если он появляется только один раз, то он называется простым собственным значением.](/pic1/069135130150238097045192145196196064098105083229.png)
ПОИСК
Это наилучшее средство для поиска информации на сайте
Собственные значения и собственные векторы
из "Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике "
Векторы х и у называются собственным вектором (столбцом) и собственным вектором-строкой А, соответствующими собственному значению Л. Собственные векторы обычно нормируются некоторым образом, чтобы сделать их единственными, например так, чтобы х х = у у = 1 (когда х и у — вещественные). Не все корни характеристического уравнения могут быть различными. Каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Когда корень (собственное значение) появляется больше одного раза, он называется кратным собственным значением] если он появляется только один раз, то он называется простым собственным значением. [c.34]Хотя собственные значения в общем случае являются комплексными, собственные значения вещественной симметрической матрицы всегда вещественные. [c.35]
Вещественная симметрическая матрица имеет только вещественные собственные значения. [c.35]
Докажем следующие три результата, которые в дальнейшем будут нам полезны. [c.35]
Если А — квадратная матрица порядка n, a G — невырожденная порядка п, то собственные значения, а также их кратности, у матриц А и G 1AG одинаковы. [c.35]
Вырожденная матрица имеет по крайней мере одно нулевое собственное значение. [c.36]
Все собственные значения идемпотентной матрицы равны 0 или 1. Все собственные значения ортогональной матрицы по модулю равны 1. [c.36]
Ниже приводится важная теорема, касающаяся положительно определенных матриц. [c.36]
Симметрическая матрица положительно определена (неотрицательно определена) в том и только том случае, когда все ее собственные значения положительны (неотрицательны). [c.36]
Докажем далее теорему 9. [c.36]
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. [c.37]
Вернуться к основной статье