Определение дважды дифференцируемости

из "Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике "

В одномерном случае (п = 1) требование дифференцируемости производных Dfi в точке с неизбежно влечет за собой существование Dfi(x) в окрестности с и, значит, дифференцируемость самой / в этой окрестности. Но при п 2 из того факта, что каждая частная производная дифференцируема в с, вытекает непрерывность каждой частной производной в с и дифференцируемость / в с, но не обязательно в окрестности этой точки. Таким образом, дифференцируемость каждой частной производной в с является необходимым, но не достаточным, в общем случае, условием для дважды дифференцируемости / в точке с. Однако если частные производные дифференцируемы не только в с, но также и в каждой точке из открытой окрестности с, то / дважды дифференцируема в этой окрестности. Это следует из теорем 5.4 и 5.7. Имеем следующую теорему. [c.144]
Пусть S есть открытое подмножество Rn. Тогда / S — Rm дважды дифференцируема на S в том и только том случае, когда все частные производные дифференцируемы на S. [c.144]
Нетривиальный факт, что дважды дифференцируемость влечет за собой (но не следует сама) существование разложения Тейлора второго порядка будет доказан в 9. [c.144]
Без труда можно доказать аналог теорем 5.1 и 5.2. [c.144]
Пусть S есть подмножество Rn. Функция / S — Rm дважды дифференцируема во внутренней точке с множества S тогда и только тогда, когда каждая ее компонента дважды дифференцируема в с. [c.144]

Вернуться к основной статье