ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ [c.143]
В 5 определение дважды дифференцируемости было мотивировано, в частности, тем требованием, чтобы из него следовало разложение Тейлора второго порядка. Давайте теперь докажем это утверждение. [c.150]
Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба. [c.58]
Уравнение (3) называется разложением Тейлора второго порядка. Естественно возникает вопрос, можно ли определить дважды дифференцируемость как существование разложения Тейлора второго порядка. На этот вопрос следует ответить отрицательно. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим функцию ф R2 —> R, определенную уравнением [c.143]
Пусть ф S — > R есть вещественная функция, определенная на множестве S из Rn, дважды дифференцируемая во внутренней точке с из S. Пусть и есть n x 1 вектор. Тогда [c.149]
Пусть ф S — > И есть вещественная функция, определенная и дважды дифференцируемая на открытом множестве S из Rn. Пусть с есть точка из S, а и — точка в Rn, такая что с + tu S для всех t [О, 1]. Тогда [c.156]
Пусть ф S —> И — вещественная функция, определенная на множестве S С Rn. Если ф дважды дифференцируема во внутренней точке с 5, [c.168]
Таким образом, для проверки, является ли дифференцируемая функция (строго) выпуклой, у нас есть четыре критерия определение из 4.9, теоремы 5, 6 и, если функция дважды дифференцируемая, теорема 7. [c.176]
Замечание. Для доказательства (строгой) выпуклости (вогнутости) функции Лагранжа ф можно воспользоваться определением из 4.9, теоремами 5 или 6, а также (если ф дважды дифференцируема) теоремой 7. Заметим, кроме того, что [c.190]
Если производная f (x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(x) дважды дифференцируема), то f"(x) > 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается равносильным приведенному выше определению выпуклой функции в курсах математического анализа выпуклость обычно определяют по знаку второй производной. Но в экономических приложениях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики которых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезным. [c.575]
Здесь (и до конца этого параграфа) V — область в и-мерном пространстве / , d"x = dxl. . . dx", малые латинские индексы пробегают значения 1, 2,. . . , п. Через u"t обозначены частные производные Эм /Э.г. Множество допустимых функций Jf состоит из функций ик, определенных и непрерывных вместе со своими первыми производными в замкнутой области V. Функция предполагается дважды дифференцируемой функцией своих аргументов. Область V считаем ограниченной ), для того чтобы не обсуждать вопроса о сходимости интеграла, а ее границу — кусочно-гладкой. [c.14]
Рассмотрим теперь задачу (1)-(2) при дополнительных условиях [1.] Функция f (t,x,u) дважды дифференцируема по л и найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /°(/,.г,ы) можно ограничить квадратичной функцией, а именно f"(t,x,u) К х при х а М. [2.] Функция f(t,x,u) удовлетворяет следующему условию найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /(/,, м) можно ограничить линейной функцией, а именно при всех / и и из области определения, /(/,х,ы)йЛГ х при х гМ. При всех (г,лг,и)е[0 Г]хЛ" xt/ матрица [c.298]
В том случае, когда функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости / (х) эквивалентно требованию неположительной определенности при всех положительных значениях ресурсов матрицы Н вторых [c.93]
Введем дважды непрерывно дифференцируемую функцию u(x) Q f-мерного вектора аргумента х и функции v(x) к wn(x), определенные равенствами [c.356]
Пусть / S —> Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn, а с есть внутренняя точка S. Если / дифференцируема в некотором п-мерном шаре В(с) и каждая из частных производных Djfi дифференцируема в с, то будем говорить, что / дважды дифференцируема в с. Если / дважды дифференцируема в каждой точке открытого подмножества Е из S, мы говорим, что / дважды дифференцируема на Е. [c.144]
Пусть / S — > Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn. Если / дважды дифференцируема во внутренней точке с из 5, то тп х п матрица Гессе Н/ является симметричной по столбцам в с, т.е. [c.149]
Пусть F S — > RmXp есть матричная функция, определенная на множестве S из Rnxg и дважды дифференцируемая во внутренней точке С в S. Равенство [c.159]
Пусть F дважды дифференцируемая т х р матричная функция от п х q матрицы X. Матрицей Гессе 1 функции F в точке X назовем матрицу размера mnpq x ng, определенную по следующей формуле [c.245]
Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности матрицы вторых производных функции f(x] при всех положительных значениях вектора ресурсов х, т. е. эквива-лентио требованию [c.74]
Напомним, что функция и(.) — вогнута, если и(ах+(1-а)у) аи(х) +(1- а) и(у) V (Ка<1. Классический результат математического анализа говорит, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и(. вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) Н отрицательно полуопределена на внутренности ее области определения, т.е. z Hz Q fz. (См. например, Рокафеллар, Р., Выпуклый Анализ, Москва, Мир, 1973, Гл. 1, 4) [c.42]
Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и X— М квазивогнута тогда и только тогда, когда ее матрица Н вторых производных отрицательно полуопределена на Vu(x)z = 0, где х принадлежит внутренности области определения X. Другими словами, для каждого z, такого что Vu(x)z = 0 выполнено z H(x)z<0, где х принадлежит внутренности Х24. [c.43]