Второй дифференциал

из "Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике "

Поскольку d/ есть по определению функция двух наборов переменных, скажем х и и, выражение d(d/), с помощью которого задается второй дифференциал d2/, требует некоторого разъяснения. Представляя операцию d(d/), мы всегда рассматриваем d/ как функцию только х, полагая и константой более того, одно и то же значение и предполагается для первого и второго дифференциалов. [c.145]
Дадим более формальное определение. [c.145]
Тогда дифференциал g в точке с с приращением и, т.е. dg( u), называется вторым дифференциалом / в с (с приращением и) и обозначается d2/( u). [c.145]
Рассмотрим сначала проблему существования. [c.145]
Пусть / S — Rm есть функция, заданная на множестве S в Rn, а с есть внутренняя точка S. Если каждая частная производная первого порядка непрерывна в некотором n-мерном шаре В (с), а каждая частная производная второго порядка существует в В (с) и непрерывна в с, то / дважды дифференцируема в с и существует второй дифференциал / в с. [c.145]
Уравнение (7) показывает, что, в то время как первый дифференциал вещественной функции ф является линейной функцией от и, второй дифференциал будет квадратичной формой по и. [c.146]

Вернуться к основной статье