Поскольку d/ есть по определению функция двух наборов переменных, скажем х и и, выражение d(d/), с помощью которого задается второй дифференциал d2/, требует некоторого разъяснения. Представляя операцию d(d/), мы всегда рассматриваем d/ как функцию только х, полагая и константой более того, одно и то же значение и предполагается для первого и второго дифференциалов. [c.145]
Пусть / S —> Rm есть функция, заданная на множестве S в Rn, а с есть внутренняя точка S. Если каждая частная производная первого порядка непрерывна в некотором n-мерном шаре В (с), а каждая частная производная второго порядка существует в В (с) и непрерывна в с, то / дважды дифференцируема в с и существует второй дифференциал / в с. [c.145]
Давайте теперь вычислим второй дифференциал вещественной функции ф S — > R, где S есть подмножество Rn. В предположении, что ф дважды дифференцируема в точке с 5, можно определить [c.146]
По определению второй дифференциал ф равен первому дифференциалу функции / , так что [c.146]
Уравнение (7) показывает, что, в то время как первый дифференциал вещественной функции ф является линейной функцией от и, второй дифференциал будет квадратичной формой по и. [c.146]
До того как мы вернемся к доказательству этого результата, заметим, что второй дифференциал векторной функции f S — > Rm, S С Rn, легко получается из (7). В самом деле, имеем [c.147]
Если / дважды дифференцируема в с, a g дважды дифференцируема в b = /(с), то второй дифференциал сложной функции h = g о / равен [c.154]
Наиболее важный вывод, который вытекает из теоремы 10, состоит в том, что второй дифференциал в общем случае не удовлетворяет правилу инвариантности Коши. Поэтому, мы будем иметь в виду, что хотя первый дифференциал сложной функции удовлетворяет соотношению [c.155]
Второй дифференциал F есть дифференциал от первого дифференциала Более точно, если мы положим [c.158]
Если F дважды дифференцируема в (7, а (7 дважды дифференцируема в В = F((7), то второй дифференциал сложной функции Н = G о F равен [c.159]
ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ [c.218]
Одно из применений дифференциала собственного вектора du — вывод второго дифференциала собственного значения, d2A. Рассмотрим вначале случай, когда XQ — вещественная симметрическая матрица. [c.218]
Функция Второй дифференциал [c.247]
П = (l/n)(Y - XB) (Y - XB) = (l/n)(MY) MY = (l/n)Y MY. (16) Второй дифференциал равен [c.401]
Поэтому 9Л(7)/ 7 = /(7) и условия первого порядка определяются как = 0. Второй дифференциал равен [c.407]
Достаточное условие экстремума формулируется с помощью привлечения второго дифференциала функции. [c.314]
Существует два основных фактора, которые необходимо принимать во внимание. Во-первых, дифференциал (разница) доходов, а во-вторых — конверсионная премия. [c.77]
Для определения степени нерасположенности к риску нам необходимо знание наклона кривых безразличия в любой точке (Var[x],E[f]). Если кривая безразличия первого инвестора в данной точке круче кривой безразличия второго инвестора, то тогда 1 не расположен к риску в большей степени, чем 2. Полный дифференциал функции полезности [c.92]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Следовательно, симметрия матрицы Гессе, которую мы будем рассматривать в следующем параграфе, приобретает фундаментальное значение, поскольку без нее мы не можем извлечь матрицу Гессе из второго дифференциала. [c.147]
Теперь мы имеем все для того, чтобы вывести теорему о том, что второй дифференциал единственным образом определяет матрицу Гессе (и наоборот). [c.149]
Цепное правило для матриц Гессе дает выражение для вторых производных сложной функции h = go/ в терминах производных первого и второго порядка функций g и /. Следующая теорема дает представление второго дифференциала h в терминах первого и второго дифференциалов функций g и /. [c.154]
Доказательство. Так как Л есть линейная функция от г (Л), имеем d2Jl = О, и поэтому второй дифференциал Лп(/л, v( l)) определяется из (3.8) [c.397]
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке PQ и в некоторой ее окрестности функция z = f(xi, Ж2,. .., хп] имеет все непрерывные частные производные. Тогда, если в этой точке второй дифференциал d z является знакоопределенной квадратичной формой от дифференциалов dxi, dx2,. .., dxn независимых переменных, данная функция имеет в точке PQ локальный экстремум. При этом [c.315]
Работы второй категории тяжести, выполняемые в благоприятных условиях труда, также не вызывают сколь-нибудь существенных изменений психофизиологических функций эффект Сеченова положительный растормаживание дифференци-ровок отсутствует. По окончании трудового процесса нарушенные функции быстро восстанавливаются. Это подтверждается сравнительно низким уровнем общей заболеваемости и отсутствием профессиональных заболеваний, а также нормальным уровнем производственных показателей. [c.193]