Как следует из определения, единичная матрица может быть только квадратной, прямоугольная матрица не может быть диагональной или единичной, так как у нее отсутствует ось симметрии, которой и является главная диагональ. [c.367]
Введем несколько определений. Пусть Q - матрица с неотрицательными элементами, такая, что сумма элементов любого ее столбца и любой строки равна единице, а Р - матрица, элементами которой являются единицы и нули, такая, что в любом столбце и любой строке этой матрицы находится только одна единица. Пусть Y- доступное размещение товаров для некоторой группы лиц, a W(-) - функция, отражающая предпочтения этой группы. Говорят, что функция обладает свойством симметрии, если W(PY) = W(Y). Кроме того, говорят, что W - вогнута по Шуру (S -вогнута), если W(QY) > W(Y). [c.94]
Похожими рассуждениями и в силу симметрии матрицы выигрышей игрока 2 получаем аналогичное отображение лучших ответов игрока 2. На рис. 30 это ломаная д (р). Рис.30 показывает, что равновесие по Нэшу в игре "Орел или Решка" возникает, если игрок 1 разыгрывает смешанную стратегию ( , ) и игрок 2 разыгрывает такую же стратегию, что, по-видимому, было естественно ожидать в силу симметричности игры. Важно заметить, что этот пример иллюстрирует, что неслучайно, если один из игроков выбирает свои стратегии равновероятно (т. е. придерживается своей равновесной стратегии), то второму игроку при этом абсолютно безразлично как играть. Это следует из свойства, доказанного ранее (см. п. 1.7) в общем случае [c.65]
Отметим, что из факта существования функции Q в силу симметрии матрицы вторых производных (матрицы Гессе) для дважды дифференцируемой фунции нескольких переменных следуют равенства, связывающие чувствительности оценок к изменению запасов ресур- [c.219]
Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Столбцовая симметрия матрицы Гессе 147 [c.147]
Следовательно, симметрия матрицы Гессе, которую мы будем рассматривать в следующем параграфе, приобретает фундаментальное значение, поскольку без нее мы не можем извлечь матрицу Гессе из второго дифференциала. [c.147]
СТОЛБЦОВАЯ СИММЕТРИЯ МАТРИЦЫ ГЕССЕ [c.147]
Мы уже видели ( 3), что матрица Гессе Иф не является, вообще говоря, симметрической. Следующая теорема дает достаточные условия для симметрии матрицы Гессе. [c.147]
Первое доказательство теоремы 1 показывает, что даже если мы не предполагаем симметричности (или положительной определенности) матрицы П, решение И будет симметрично и неотрицательно определено (на самом деле, положительно определено с вероятностью 1). Поэтому нет никакого смысла предполагать симметрию на этом шаге. Тем не менее мы приводим два доказательства теоремы 1, где используется симметричность. Эти результаты нам понадобятся при обсуждении условий второго порядка (матрица Гессе и информационная матрица). [c.394]
Мы будем называть приведенное выше использование условия симметричности (при помощи дуплицирующей матрицы) неявным. В противоположность ему, явное использование симметрии привлекает дополнительное условие П = 1 . Следующее доказательство теоремы 1 иллюстрирует этот подход. [c.395]