Понятие определенного интеграла

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Рассмотрим непрерывную функцию у = /(ж), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ож, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и 6 — такие числа, что функция определена при а ж Ь. [c.223]
Кривая у = /(ж) и прямые ж = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = /(ж) от а до 6, или криволинейной трапецией. [c.223]
Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. [c.223]
Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок. [c.224]
Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S. [c.225]
Введем теперь точное определение. [c.225]
Обозначим через max Аж максимальную из длин отрезков [жг-i, ж ], где г = 1, 2,. .., п. [c.225]
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число. [c.226]
Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е. [c.226]
Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и Ь. [c.227]
Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, 6], то она не ограничена на некотором отрезке [ж 1, xi. За счет выбора точки j интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Sn существует и конечен. [c.227]

Вернуться к основной статье