Выпуклость множества производственных возможностей

из "50 лекций по микроэкономике Том 2 "

Множество производственных возможностей фирмы или общества можно рассматривать с различных точек зрения. В лекции 22 рассматривалась фирма, причем для простоты предполагалось, что фирма производит единственный продукт. В этой связи использовалось множество производственных возможностей в (п+1)-мерном пространстве, п координат которого характеризовали затраты различных ресурсов, а одна координата — объем выпуска продукта. В этом выпуске в связи с иным характером обсуждаемых задач мы рассматриваем множество производственных возможностей (МПВ), или производственное множество общества в пространстве продуктов, которое мы будем обозначать символом . [c.664]
МПВ в пространстве ресурсы—продукты обычно считается неограниченным производственная система может выпустить какое угодно количество любого продукта, если будет располагать достаточным для этого количеством ресурсов. В отличие от этого МПВ общества в пространстве продуктов ограничено доступным количеством ресурсов. [c.665]
Будем использовать следующие упрощенные определения. Точку некоторого множества называют внутренней, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка называется внешней, если она имеет некоторую окрестность, ни одна точка которой не принадлежит рассматриваемому множеству. Наконец, точка называется граничной, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему. В общем случае граничные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем. Например, множество вещественных чисел, удовлетворяющих условию 1 х 2, содержит граничную точку х = 1 и не содержит точку х = 2. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым. Мы будем считать, что МПВ является замкнутым. [c.666]
Все эффективные точки МПВ являются граничными любая окрестность эффективной точки содержит хотя бы одну недостижимую точку (в силу определения одновременное увеличение объемов всех продуктов невозможно) и хотя бы одну достижимую (в силу гипотезы о возможной неэффективности). Предположение о замкнутости МПВ означает, что эффективные точки считаются достижимыми. [c.666]
В теории часто пользуются допущением о выпуклости МПВ. Рассмотрим вначале смысл этого утверждения, а в следующих пунктах рассмотрим, на каких предположениях оно может основываться. [c.668]
Если МПВ выпукло, то функция трансформации — вогнутая, как это следует из определения. При этом безразлично, о какой именно из возможных функций трансформации идет речь если мы рассматриваем функцию х. = Ту.(х .), то под графиком будут располагаться точки, для которых х Т (к .). [c.668]
Справедливо и обратное утверждение если функция трансформации вогнута, то МПВ выпукло. [c.668]
Таким образом, утверждения о выпуклости МПВ и о вогнутости функции трансформации равносильны. Попутно отметим, что если какая-либо из функций трансформации является вогнутой, то вогнуты и все остальные. [c.669]
В дальнейшем мы покажем, что утверждение о выпуклости МПВ следует из некоторых элементарных допущений о возможных характеристиках производства. [c.669]
Ось абсцисс условно представляет все координаты, кроме У-той. [c.669]
На рис. 4, а изображено МПВ для двух продуктов, нормы расхода ресурса для которых l= 5 и с2 = 4, а располагаемое количество ресурса R= 1800. МПВ представляет собой треугольник с вершинами (О, О), (360, 0) и (0, 450). Треугольник, очевидно, выпуклая фигура. [c.670]
Упражнение 4. Докажите, что МПВ в рассматриваемом случае выпукло и имеет вид рис. 4,0. [c.671]
взаимозависимость продуктов в производстве, проявляющаяся в экономии от разнообразия, не нарушает выпуклости МПВ. [c.671]
Допустим теперь, что совместное производство требует большего количества ресурса, чем при раздельном производстве (потери от разнообразия). Скажем, в условиях рассматриваемого примера совместное производство 1 ед. 1-го продукта и 1 ед. 2-го продукта требует не 9, а 12 ед. ресурса. Допустим, что весь ресурс направлен на совместное производство. В этом случае выпуск будет характеризоваться вектором (160, 150) (точка С на рис. 4,в). Направив 1000 ед. ресурса на производство первого продукта и 800 — на производство второго, мы получили бы выпуск (200, 200) (точка D), так что совместное производство неэффективно, и существование такой технологии не изменяет конфигурации МПВ. Иными словами, существование совместного производства, характеризующегося потерями от разнообразия, также не нарушает выпуклости МПВ. [c.671]
Подобная закономерность имеет место не только для фирмы, но и для общественного производства. Например, при добыче нефти в небольших количествах можно ограничиться легкодоступными месторождениями, так что дополнительная тонна нефти потребует сравнительно небольшого дополнительного количества ресурсов. Большой объем добычи заставляет забираться в Заполярье, бурить скважины в морском дне и т. д., что существенно увеличивает дополнительные затраты на каждую дополнительную тонну. [c.673]
Рассмотрим пример. Пусть производятся 2 продукта и производственные функции для обоих продуктов одинаковы x, = Vr и x2 = Vr. Соответственно функции затрат равны с х = хД с2( 2) = х22. Допустим, что располагаемое количество ресурса R = 100. Ресурсное ограничение принимает вид С(х) = х + х22 100, так что МПВ изображается четвертью круга радиуса 10 с центром в начале координат (рис. 7,а). Если при постоянной продуктивности ресурсов функция трансформации была линейной, то в рассматриваемом здесь случае она оказывается строго вогнутой, и при движении вдоль ГПВ слева направо предельная норма трансформации монотонно возрастает. [c.674]

Вернуться к основной статье