Пространство благ

из "Экономическая школа Часть 2 "

Многие теоретические вопросы обсуждаются в нашем журнале применительно к случаю двух продуктов. В качестве удобного средства, существенно упрощающего их анализ, использовались графические построения, в которых набор, включающий два продукта в количествах хг и х2, изображался точкой на плоскости с декартовыми координатами (xl, х2). Перевод теоретических понятий на геометрический язык делал свойства обсуждаемых явлений весьма наглядными и при этом не приводил к потере строгости все геометрические понятия (прямые, кривые, углы наклона и т. п.) имели точно определенные аналитические эквиваленты — уравнения, производные, соотношения между параметрами и т. д. Поэтому такие построения широко используются и в учебниках по экономике, и в научных публикациях. [c.244]
Однако эти геометрические рассуждения были строгими и точными лишь для случаев, когда перечень потребляемых благ включал всего два наименования. В действительности же число благ, которыми пользуются люди, значительно больше. Выводы, полученные геометрическим путем, можно считать обладающими достаточной общностью, если их удастся распространить на случаи произвольного числа благ. [c.244]
Под n-мерным пространством благ будем понимать множество числовых наборов вида (1). Каждый такой набор чисел будем называть точкой (элементом) пространства, или вектором, а числа xi — ее координатами, или компонентами. [c.244]
Рассматривая некоторое пространство благ, мы будем считать число компонент п — размерность пространства — фиксированным более того, на каждом месте в наборе (1) должно стоять количество блага определенного вида. Если данный потребитель не использует какое-нибудь, скажем, А-е благо, то будем считать xh = 0. [c.244]
Условимся обозначать точки пространства благ большими латинскими буквами, а их координаты — соответствующими маленькими буквами с индексами — номерами координат. Нам не придется каждый раз пояснять, что, например, zz — это вторая координата точки Z. [c.244]
Точки X и У будем считать равными и записывать X = Y в том и только том случае, если совпадают все их координаты xt = yt. Если же точки одинаковы в каком-то отношении (скажем, равноценны по потребительским предпочтениям), но имеют неодинаковые координаты, мы будем их считать неравными друг другу. [c.245]
Реальные наборы благ, разумеется, не могут иметь отрицательных координат. Тем не менее мы будем рассматривать пространства, точки которых могут иметь координаты любых знаков, чтобы в этих пространствах нашлось место не только для реальных наборов, но и для приращений, отклонений, шагов и т. д., а также для некоторых условных наборов, которые могут появиться в различных мысленных экспериментах. [c.245]
В пространствах двух и трех измерений сложение можно определить чисто геометрически — с помощью правила параллелограмма (рис. 1а) или параллельного переноса (рис. 16). Такое геометрическое определение равносильно определению (2). Правило параллельного переноса удобнее в том отношении, что может быть распространено на произвольное число слагаемых (рис. 1в). [c.245]
Особую роль в нашем пространстве играет нулевой элемент О= (0,0.0) — начало координат . Для любого X справедливы равенства Х + О = Х, Х-Х = О. [c.246]
Для каждого элемента X существует противоположный элемент, который мы будем обозначать - X мы можем определить его следующим образом -Х = О-Х. Чтобы перейти от точки X к точке -X, нужно знаки всех ее компонент изменить на противоположные. Точка - X симметрична точке X относительно начала координат О. [c.246]
В пространствах двух и трех измерений произведению вектора на число можно дать простое геометрическое определение (см. рис. 2). Соединим начало координат и точку X прямой и отложим на ней отрезок длиной ОУ = а ОХ в направлении X, если а 0, или в противоположном направлении, если а 0. [c.246]
Если же все элементы некоторого множества умножить на одно и то же число, то мы получим фигуру, подобную исходной и расположенную подобным образом . Такое преобразование в геометрии называется гомотетией с центром О и коэффициентом а (рис. 4). [c.247]
Введенные выше операции над элементами пространства благ имеют смысл при любой размерности пространства это позволяет нам использовать соответствующие геометрические термины (перенос, гомотетия), понимая их как результаты соответствующих арифметических действий. [c.247]
Представьте себе, что в вашей комнате есть камин. В морозный день у камина будет тепло, а у окна — холодно. В каждой точке вашей комнаты будет какая-то температура. Мы можем считать температуру t функцией точки в пространстве вашей комнаты t = ф(Х). Но можем ввести в комнате декартовы координаты и рассматривать температуру как функцию трех переменных — координат точки t = y(xl,xz,xa). Между этими описаниями существует простое соответствие — точка и ее координаты взаимно однозначно определяют друг друга. [c.247]
Различным наборам коэффициентов Ь1,Ь2.Ьл соответствуют разные линейные функции. [c.248]
В пространстве п измерений поверхность уровня линейной функции также будем называть плоскостью, хотя она отличается от обычной плоскости тем, что имеет не два, а п - 1 измерений (плоскость, размерность которой на единицу меньше размерности пространства, называют также гиперплоскостью). [c.248]
Если m — денежный доход потребителя, то уравнение s(X) = т описывает его бюджетную плоскость — аналог бюджетной линии из лекции 14. Бюджетная плоскость отсекает от координатных осей отрезки длиной т/р, ее положение в трехмерном пространстве показано на рис. 5. Покупательские возможности при доходе /п описываются неравенством s(X) т вместе с неравенствами xl 0,х2 0,. ..,хп 0, выражающими неотрицательность объемов покупок. [c.248]
Убедиться в этом вы можете самостоятельно. [c.248]
Часто линейную функцию определяют как такую функцию, которая для любых точек X и Y и любого числа а обладает свойствами (6) и (7). Можно доказать, что любая такая функция может быть представлена в виде (5), так что оба определения эквивалентны. [c.249]
Допустим, что в момент времени t потребление некоторого человека определялось точкой X(t) в пространстве благ и с течением времени изменялось. Тогда при изменении времени t от t0 до , точка X(t) будет смещаться из положения X(t0) в положение X(tl), прочертив в пространстве некоторую кривую. Этот пример показывает, каким образом могут задаваться различные кривые в пространстве благ. Если все координаты являются функциями одной и той же вещественной переменной . [c.249]

Вернуться к основной статье