Постановка вариационной задачи

из "Приближенное решение задач оптимального управления "

Решив его с учетом краевых условий для х (t), получим стационарную точку функционала F [ ( )] она может оказаться как точкой минимума (локального), так и точкой максимума или точкой перегиба (имеется в виду точка функционального пространства). [c.22]
Анализ второй вариации функционала. Он позволяет более или менее эффективно выяснить, является ли исследуемое решение уравнения (5) точкой минимума F [х ( )] (локального, разумеется), или оно является стационарной точкой другого типа. Во многих прикладных задачах такие вопросы решаются установлением единственности решения уравнения Эйлера и ограниченности функционала снизу. [c.22]
Ф в правых частях этих определений считается заданной достаточно гладкой функцией своих аргументов. Не претендуя на исчерпывающую полноту, ограничимся пока этими конструкциями. Их, а также гладких функций от функционалов перечисленных типов, достаточно для постановки большинства прикладных задач. В дальнейшем будут использоваться и другие конструкции функционалов. В формулах (12)—(16) фазовая траектория х ( ) связана с управлением краевой задачей (11) и однозначно определяется им. Этим оправдывается обозначение выражений в правых частях определений через F [и ( ) . Фактическое вычисление F [ ( ) требует решения краевой задачи (11), для чего используются соответствующие приближенные методы, ориентированные, как правило, на использование ЭВМ. Выбор того или иного численного алгоритма определяется содержательным характером краевой задачи (И). Особых трудностей при этом не возникает, так как задача оптимизации какого-либо объекта обычно ставится после того, как расчет его функционирования при каком-то фиксированном управлении уже достаточно освоен, и подходящие численные методы разработаны и проверены. [c.26]
Теперь в нашем распоряжении есть все для того, чтобы могла быть сформулирована типичная задача оптимального управления. [c.27]
Здесь F [u (-), I = 0, 1,. . , ,m, — функционалы, каждый из которых может иметь вид (12) — (16), или быть функцией таких функционалов. [c.27]
Сформулированная выше задача не является самой общей ряд простых обобщений ее будет обсужден ниже (см. 7) однако и в такой форме она включает в себя ряд задач, обычно трактуемых отдельно друг от друга. Рассмотрим их. [c.27]
Другим важным обстоятельством, определяющим неклассический характер задачи оптимального управления, является наличие в задаче условий типа неравенств. Это — условия и (t) U, условия (17), (18). Они, как показал опыт решения таких задач, весьма существенны снятие подобных условий обычно полностью лишает задачу содержательной ценности, так как приводит к решениям либо физически нелепым, либо неприемлемым по техническим условиям. Как правило, в оптимальном решении имеются как интервалы времени, на которых реализуется знак равенства, так и интервалы, на которых реализуется строгое неравенство на первых условие может быть заменено привычным для классического вариационного исчисления условием типа равенства, на последних — снято. К сожалению, расположение и размеры этих интервалов выясняются лишь после решения задачи. Это обстоятельство также имеет глубокие последствия в вопросах конструирования численных методов классический вычислительный аппарат линейной алгебры становится неэффективным и заменяется более соответствующим характеру современных вариационных задач вычислительным аппаратом линейного (и нелинейного) программирования. [c.29]

Вернуться к основной статье