Постановка вариационной задачи

Постановка вариационной задачи [c.21]

ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ 2J [c.23]

Задача с параметрами. Пусть в постановку вариационной задачи входит набор параметров =1 , а2,.. ., ар], которые не фиксированы, но должны определяться наряду с управлением и ( ) и из тех же соображений. Такую задачу формально можно записать в таком виде [c.61]

В связи с этим стоит заметить, что первичная постановка вариационной задачи может иметь такой вид [c.65]

Заметим, что в случае, когда в постановке вариационной задачи не все значения х (0) фиксированы, свободные компоненты х (0) включаются в вектор параметров I, увеличивая его размерность, а вектор условий 7, расширяется добавлением соответствующих условий трансверсальности. [c.116]

Кроме того, в постановках вариационных задач использовались [c.270]

Есть еще одно важное для приближенного решения вариационной задачи требование для решения полученной краевой задачи должен существовать эффективный численный алгоритм. Известно, что проще всего в этом отношении задача Копта. Поэтому часто бывает удобно формально ввести параметры а в постановку задачи, записав краевые условия Г (х, а)=0 в виде, например, х (0) — <х=0 (если среди условий первичной постановки задачи есть условия, фиксирующие значения некоторых компонент х (0), то соответствующие компоненты а не варьируются). Имея в виду этот прием, 5 Р. П. Федоренко [c.65]

Заметим, что можно использовать (61) в однородной форме, пренебрегая невязками G(" [x (t )], i=0, I,. . ., k до тех пор, пока не накопится некоторая суммарная невязка (соотношение (31) должно быть очевидным образом обобщено), после чего включается восстанавливающая форма алгоритма. Можно использовать, не вводя функций G(i), условие для Ъх (t) в виде (55), что, конечно, осложняет задачу определения поправок Ы (t), Ьх (t) . Вычислительная схема решения вариационных задач, используемая автором, предполагает использование условных функциональных производных, определенных уже с учетом соотношений типа (61) (см. 21). Вычисление этих производных есть не что иное, как проектирование производных всех входящих в постановку задачи функционалов на подпространство, касательное к многообразию, определяемому условием G [x (t), и ( )]=0. Не нужно думать, что такой способ действий приведет к существенно другим функциям [Ъх (t), hi (t) . Просто в этом случае операция проектирования разлагается на последовательность двух операций сначала все проектируется на подпространство, касательное к G [x, u]=0, а затем, уже в этом подпространстве, осуществляется проектирование на пересечение подпространств, касательных к многообразиям, определяемым остальными условиями задачи. Результат от этого не меняется. В своих расчетах автор обычно не использовал ни одной из перечисленных выше форм проектирования. Дело в том, что в большинстве случаев в прикладных задачах появляется не условие в виде равенства (51), а условие в виде неравенства [c.159]

Эта классическая задача послужит нам простым примером, позволяющим продемонстрировать некоторые аспекты численного решения вариационных задач. Мы будем рассматривать и решать ее в двух постановках — в классической и в современной. [c.217]

Метод интерпретатора. Кроме методов регуляризации, которые можно отнести к разряду объективных (не забывая, впрочем, что сама постановка каждой из вариационных задач, выбор конкретной нормы и параметра регуляризации содержат, особенно в практических расчетах, определенный субъективный элемент), существует и давно применяется чисто субъективный метод интерпретатора. Он состоит в том, что опытный специалист (интерпретатор) подбирает функцию v(0,x), как удовлетворяющую условию типа (2), так и обладающую рядом свойств, ограничивающих выбор. Эти свойства часто даже явно не формулируются просто интерпретатор знает, какие функции и (О, х) бывают в данной задаче, а каких быть не может. [c.360]

Вернемся к лексикографической задаче LVI(X, FI,. . . , Fm). В прямой постановке эта задача, являясь обобщением обычной задачи последовательного (лексикографического) программирования, сохраняет свойства неустойчивости последней. Одним из приемов преодоления указанной неустойчивости в последовательном программировании служит переход от векторного критерия к скалярному, представляющему собой взвешенную сумму частных критериев. При этом упорядоченность частных критериев находит свое отражение в выборе весовых множителей. Перенесем этот прием на лексикографическую задачу решения вариационного неравенства. [c.71]

В результате решения задачи стратегического планирования, помимо верификации реализуемости целевой программы, составляется прогноз агрегированного баланса банка на предусмотренные нормативами отчетные даты. Математическая постановка задачи в общем виде представляет собой вариационную задачу оптимального управления. [c.200]

В настоящей работе предлагается вариационный подход к общей теории классификационного анализа данных. Используется размытая постановка задачи классификационного анализа, обобщающая многие частные постановки этой задачи. Для оценки качества размытой классификации используется широкий класс выпуклых функционалов. Этот класс включает значительную часть известных критериев качества классификации точек евклидова пространства и функционалы в неметрических шкалах. В том числе в него входят как частные случаи функционал средневзвешенной дисперсии функционалы экстремальной группировки параметров функционал диагонализации матрицы связи функционалы классификации в бинарных, номинальных и ранговых шкалах. [c.62]

Математическая постановка задачи включает в себя вариационное уравнение минимума полной энергии 8П -S W = О [c.202]

В принципе, при подходящей конструкции семейства и (t a) таким образом можно получить почти точное решение. Но в [98], при отсутствии информации о решении, семейство и (t а) содержало лишь монотонно убывающие функции, которыми никак нельзя аппроксимировать решение (13) поэтому эффект такого оптимального управления был незначителен (по сравнению с тривиальным выключением). Четкая постановка задачи о выключении как вариационной была дана Р. Беллманом [7] был предложен и алгоритм ее решения, использующий идеи динамического программирования (см. также 18], [9], [4]). В дальнейшем в монографии [4], специально посвященной этой задаче, были опубликованы данные о реализации этой программы. Они заслуживают подробного комментария. Заметим еще, что вычислительная схема [c.304]

Вариационный принцип для нелинейных собственных колебаний. Сказанное относится к колебаниям сплошных сред общего вида. Однако имеется один важный класс динамических задач, который очень близок по вариационной постановке к статическим задачам. Это так называемые задачи о собственных колебаниях. Под собственными понимают колебания сплошных [c.186]

Однако иногда это оказывается возможным пусть, как это часто бывает в прикладных задачах, уравнение для одной из компонент х не содержит управления l = fl(x). Тогда в постановке вариационной задачи допустим функционал Р п ( )1 = Ф [и1 ( ) , варьирование которого приводит к Формуле (6) с Y(t), имеющей особенность типа производной 8-функции. В этом случае Ъ 1 = РгЪх оказывается непрерывной функпией и соответствующий интеграл в (6) имеет смысл. Мы все же не будем рассматривать подобных обобщений, так как в этом случае функционалу легко придается стандартная форма (2) [c.31]

Основные типы задач, подходы к их решению и результаты были получены давно они связаны с именами таких классиков естествознания, как Эйлер, Якоби, Вейерштрасс. Однако бурное развитие техники ) после второй мировой войны, характеризующееся, кроме всего прочего, четкой тенденцией к созданию оптимальных по своим качествам конструкций, привело к постановке ряда частных задач, которые были вариационными по существу дела, однако либо не укладывались в привычные рамки вариационного исчисления, либо это удавалось сделать ценой нежелательных искажений задачи. Постепенно выработались некоторые типичные формы новых вариационных задач, получившие имена пионеров этой области так появились задачи Больца, Майера и другие. Отдавая должное этим ученым, мы не будем в дальнейшем пользоваться соответствующей терминологией, так как она отражает лишь историю становления современного вариационного исчисления, но не существо дела. Эти различные по наименованиям задачи не нуждаются ни в специфических методах теоретического исследования, ни в особых подходах при разработке алгоритмов их приближенного решения. Все эти задачи естественно укладываются в сложившуюся в настоящее время форму задачи оптимального управления, теоретический анализ которой не проще и не сложнее анализа упомянутых ее частных видов. Это же отно- [c.23]

Канторова лестница. Выше было отмечено, что любая вариационная задача в классической постановке легко может быть сформулирована как задача оптимального управления. Формально обе задачи оказываются эквивалентными, однако есть между ними и некоторая, так сказать, идеологическая , разница. Пояснить ее лучше всего, вспомнив интересный пример (он поучителен и сам по себе). [c.91]

В 10 при обсуждении вопроса о том, как часто в прикладных задачах могут появляться скользящие режимы, автор утверждал, что, например, в задачах 30 с невыпуклой вектограммой, где в принципе возможны скользящие режимы, содержательные постановки задач к таким решениям не приводят. Правда, эти задачи решались автором методом малых вариаций управлений. Такой метод и не рассчитан на получение скользящих режимов. Тем не менее, можно с достаточными основаниями утверждать, что не в этом дело. Прежде всего, во всех этих задачах почти очевидно, что уменьшение сопротивления воздуха движению тела является благоприятным фактором с точки зрения поставленной вариационной задачи. Поэтому режим, в котором угол атаки (ц2 (t)) в среднем близок к нулю, а его квадрат (сопротивление воздуха пропорционально м22) — велик, едва ли может быть оптимальным. Другим соображением являются результаты проводившихся автором экспериментов по решению задачи (1) методом малых вариаций управления ( 19 — 21). [c.200]

Изложение следует работе 35). Другие постановки стохастических вариационных задач даны Р. Бсллманом [ 161. [c.428]

Во многих задачах механики и физики присутствуют малые или большие параметры. Это могут быть соответствующим образом обезразме-ренные геометрические параметры — толщина пластинки или оболочки, диаметр поперечного сечения стержня, диаметр кристаллита в поликристалле, амплитуда деформаций или перемещений сплошной среды, длина волны, движущейся в сплошной среде, число молекул газа в сосуде, или физические параметры — вязкость или теплопроводность жидкости, частота колебаний упругого тела и т.п. Для исследования подобных задач в математической физике известен ряд асимптотических подходов. В то же время ясно, что для задач, допускающих вариационную постановку и, следовательно, имеющих специальную структуру, должен существовать прямой вариационный подход, основанный на непосредственном асимптотическом анализе соответствующих функционалов и автоматически учитывающий вариационную структуру уравнений и те свойства результатов, которые ею диктуются. [c.129]

Невозможность постановки задачи о минимуме. Распространение на динамику сформулированных выше вариационных принципов наталкивается на трудности, существо которых проявляется уже на системах с конечным чылом степеней свободы. [c.184]

Асимптотическая постановка проблемы осреднения периодических структур дана Н.С.Бахваловым (6-8 , идейно близкое понятие (7-сходимости введено де Джоржи (см. 1 94, 291 1). Обобщение на почти-периодические и случайные структуры Построено С.М.Козловым 1 109-1 13 . Вариационные постановки задачи на ячейке и осредненныс уравнения для периодических и случайных нелинейных структур получены автором (27, 35 1 параграф посвящен изложению соответствующих результатов. [c.432]

Разин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. - Л. ЛГУ, 1978.-223с. [c.439]

Вариационные неравенства и линейные и нелинейные задачи о дополнительности стали изучаться с середины 1960-х годов, начиная с работ Дж.Стампаккьи, К.Лемке, Дж.Данцига, Р.Коттла и др. Эти постановки сыграли значительную роль в математическом программировании и являются центральными в моделировании, численном решении и анализе многих задач в экономических, физических, технических и социальных исследованиях. [c.3]

Предлагаемое пособие написано на основе зарубежных и отечественных журнальных публикаций, а также оригинального материала и легло в основу лекций, прочитанных автором студентам 3-4 курсов математико-механического факультета Уральского госуниверситета, специализирующимся на применении математических методов и информатики в экономике. В пособие включены основные факты из качественной теории конечномерных вариационных неравенств и задач о дополнительности, а также краткий обзор методов их решения, главным образом тех, что используют свойства монотонности входящих в постановки отображений. Отдельно разобран случай линейной задачи о дополнительности и рассмотрены конечные методы ее решения. Приведены разнообразные экономические приложения, в том числе модели равновесия в транспортных сетях и модель общего экономического равновесия Вальраса. [c.3]

Смотреть страницы где упоминается термин Постановка вариационной задачи

Смотреть главы в: