Методы решения краевой задачи для П-системы

из "Приближенное решение задач оптимального управления "

Таким образом, решение вариационной задачи формально сведено к решению краевой задачи для П-системы (8) — (9). Хотя эта формальная схема рассуждений содержит ряд нестрогих заключений (на них мы еще обратим внимание), не вызывает никаких сомнений, что разработка надежных методов решения П-систем была бы существенным вкладом в численное решение вариационных задач. К сожалению, здесь встретились значительные трудности, преодолеть которые пока не удалось. Однако следует сразу же отметить, что наиболее точные и аккуратные численные решения вариационных задач связаны именно с решением соответствующих П-систем правда, удалось это, несмотря на многочисленные попытки, в очень редких случаях. [c.115]
Если иметь в виду достаточно общий случай, то естественным подходом к решению краевой задачи является, видимо, следующий. [c.115]
Заметим, что в случае, когда в постановке вариационной задачи не все значения х (0) фиксированы, свободные компоненты х (0) включаются в вектор параметров I, увеличивая его размерность, а вектор условий 7, расширяется добавлением соответствующих условий трансверсальности. [c.116]
Рассмотрим трудности, возникающие при фактической реализации этой схемы и возможные пути их преодоления хотя эти приемы и не позволяют решить задачу в общем случае, они оказываются полезными при решении частных, сравнительно простых задач. [c.116]
В общем случае единственным способом решения задачи вычисления Z , учитывая неявный способ задания функции Z (I), является численное дифференцирование. Таким образом, вычисление Z (5) и Z требует, по меньшей мере, (тг+т+1)-кратного интегрирования задачи Коши. Учитывая возможности современных ЭВМ, следует признать это обстоятельство отнюдь не самым неприятным по сравнению с остальными. [c.116]
Что касается фактического осуществления аппроксимации (1 ), то, не разрабатывая общих приемов, заметим, что в прикладных задачах она обычно осуществляется без особого труда. Ограничимся простыми примерами, поясняющими суть дела. [c.118]
Пример . В двумерном пространстве квадрат (ji l г 1)Х X( uJ 1), не являющийся строго выпуклым множеством, может быть сколь угодно точно аппроксимирован строго выпуклым овалом wf +uf 1, k 1 (s VA). [c.118]
Ошибка аппроксимации может быть оценена на диагонали и1 = и 2 овал пересекает диагональ в точке с координатами и1 = = ua=(0, б)2 и s 1— (0,5) . [c.118]
Вообще следует иметь в виду, что в вычислительной математике нет таких ситуаций, чтобы трудности, отсутствовавшие в аппроксимирующей е-задаче, внезапно появлялись в предельной, соответствующей е=0. И в данном случае разделение задач на два типа — строго выпуклые, в которых при сколь угодно малом е единственность задачи Коши обеспечена, и предельные, не являющиеся строго выпуклыми, в которых нет единственности, нельзя, безусловно, трактовать, как возможность использовать метод Ньютона в аппроксимирующей П-задаче. Дело в том, что следует принять во внимание очень важный фактор — эффективность вычислительного алгоритма. К сожалению, мы не имеем здесь эффективных оценок, однако, ясно, что стремление е - 0 сопровождается ростом вычислительных трудностей. [c.119]
Ограничимся этими общими замечаниями более точное представление о том, что имеется в виду, дают примеры, где эту программу удалось реализовать и получить весьма точные решения сложных вариационных задач. Стоит отметить, что качественный анализ задачи, позволяющий построить необходимую параметризацию семейства решений П-системы, может быть основан как на аналитической работе, так и на изучении приближенных решений задачи, полученных каким-либо численным методом, эффективным, хотя и дающим относительно грубое решение. [c.119]

Вернуться к основной статье