Определение. Выпуклым конусом в векторном пространстве называется такое множество С, что каковы бы ни были U, U" е С и неотрицательные Л/ и ", имеет место X / + Х" 7" е С П [c.52]
Множество А, А с R", называют выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Иными словами, подмножество А пространства Rm выпукло, если для всех пар точек у, у" е А и любого числа А е [0, 1] выполнено соотношение у + (1 - А) у" е А. Множество К, К с Rm, называется конусом, если для каждой точки у е К и любого положительного числа а выполняется включение ау е К. Конус, являющийся выпуклым, именуют выпуклым конусом. Иначе говоря, выпуклое множество является выпуклым конусом, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и весь луч, исходящий их начала координат (в общем случае без самого начала) и проходящий через данную точку. При этом начало координат (вершина конуса) может как принадлежать, так и не принадлежать данному конусу. Можно проверить, что сумма любых двух (и более) элементов выпуклого конуса всегда принадлежит данному конусу. Конус К называют острым, если не существует такого ненулевого вектора у е К, для которого выполняется включение -у е К. Не являющийся острым конус обязательно содержит, по крайней мере, одну прямую, проходящую через начало координат (вместе с самим началом или же без него). [c.52]
Когда в пространстве введено понятие скалярного произведения векторов, можно определить и понятие К., двойственного к данному. Пусть С— выпуклый К., тогда множество С, состоящее из векторов, скалярные произведения которых с любым вектором, принадлежащим С, — отрицательны, называется двойственным конусом. [c.153]
В этом случае весь анализ проводится стандартно, однако, необходимым условием оптимальности исследуемой траектории является отсутствие в выпуклом конусе KF смещений F элементов так называемого конуса запрещенных смещений К,. Этот конус в (m-f-1)-мерном пространстве описывается следующим образом [c.72]
Конструкция 8Е/Я+1/,- Опуская для простоты индекс гс+ /а, опишем применявшийся в наших расчетах способ описания Ъи. Мы предполагаем, что множество допустимых по условию и ( )+8м (t) Si7 (t) вариаций образует выпуклый конус Kt в r-мерном пространстве (г — размерность и). Как известно, выпуклые конусы допускают два способа описания либо как пересечение некоторого набора полупространства, либо как выпуклая оболочка набора векторов. Именно этот второй способ и оказывается наиболее удобным. [c.168]
Векторы a7, jel n будем называть векторами требований задачи (Д /), а вектор Ь — вектором ограничений. Множество всех неотрицательных линейных комбинаций столбцов а7 с геометрической точки зрения может быть представлено как многогранный выпуклый конус, натянутый на систему векторов а1 в пространстве Rm (рис. 1.3). [c.29]
Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие [c.87]
Теорема 2. Допустим, что ЛТ является банаховым пространством, fi-выпуклое и компактное подмножество вЛ, а С-выпуклый замкнутый конус в X, Пусть AeL(XJ ) и Л - 2 1Г-многозначное отображение, заданное условием [c.176]
Если К—выпуклъий конус в пространстве R", то множество K = L Rn О --ОМ>0 для всех М К также является выпуклым жонусом в R". Конус К называется сопряженным (двойственным) конусу /С. [c.88]
Если проводить рассмотрение в пространстве условий, то известно, что множество, образующее линейную оболочку векторов а - (где а,- -столбцы матрицы А), является выпуклым полиэдральным конусом. [c.206]
Введем в рассмотрение множество М — совокупность всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций конечного набора векторов е е2,..., ет, у, где е е2,..., ет — единичные орты пространства Rm. Множество Мявляется выпуклым конусом, не содержащим начало координат (так как коэффициенты линейных комбинаций одновременно в нуль не обращаются). В силу включений е е2,..., ет R+ С К и у е К введенное множество М представляет собой подмножество конуса К. Более того, М — острый конус, так как он — подмножество острого выпуклого конуса К. [c.84]
Пусть Ф(х) — оператор, определенный на множестве G (RaGaB) и действующий из G в банахово пространство BI. Пространство BI можно частично упорядочить, вы- брав в нем некоторый выпуклый конус d и введя в нем отношение порядка следующим образом [c.23]
Напомним, что оператор Ф(х), отображающий линейное пространство 54 в пространство В с конусом Gi B называется выпуклым вверх, если для любых xi, x Bi и всех имеет место соотношение [c.24]
Альтернатива для выпуклого конуса выпуклый конус KF в конечномерном пространстве Ет+1 либо совпадает со всем пространством, либо занимает не более полупространства. В последнем случае существует опорный вектор g Em+l такой, что [c.46]
Допустим, что X является банаховым пространством, которое частично упорядочено выпуклым, замкнутым, телесным острым конусом СсХ, т.е. Сп(-С) = 0 , int 0. Пусть Q - непустое выпуклое подмножество в X, такое, что intH 0. Рассмотрим многозначное отображение Р Х- 2у,определенное равенством [c.174]
Теорема 14. Пусть X является строго выпуклым банаховым пространством, fl компактное подмножество в Л", а С замкнутый, острый конус в Л с непустой внутренностью. Тогда существует точка ХоеП, являющаяся инвариантной точкой многозначного отображения F, т.е. F(XO) = XQ . [c.188]
Расстояние между конусами. Пусть А и В — произвольные непустые выпуклые подмножества пространства Rm. Как известно, хаусдорфово расстояние см. [11]) между данными множествами обозначается dist А, В) и определяется формулой [c.134]
Геометрические объекты в евклидовом пространстве (луч, конус, коническая и выпуклая оболочки множества, конечнопорожденный конус). Отделимость выпуклых множеств. Лемма Фаркаша. Теорема двойственности для задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация двойственной задачи. Двойственные переменные как оценки влияния. [c.47]
Смотреть страницы где упоминается термин Выпуклые конусы в пространстве
: [c.53] [c.23] [c.361] [c.362] [c.173] [c.272] [c.273]Смотреть главы в:
Справочник по математике для экономистов -> Выпуклые конусы в пространстве