В одномерном случае (п = 1) требование дифференцируемости производных Dfi в точке с неизбежно влечет за собой существование Dfi(x) в окрестности с и, значит, дифференцируемость самой / в этой окрестности. Но при п 2 из того факта, что каждая частная производная дифференцируема в с, вытекает непрерывность каждой частной производной в с и дифференцируемость / в с, но не обязательно в окрестности этой точки. Таким образом, дифференцируемость каждой частной производной в с является необходимым, но не достаточным, в общем случае, условием для дважды дифференцируемости / в точке с. Однако если частные производные дифференцируемы не только в с, но также и в каждой точке из открытой окрестности с, то / дважды дифференцируема в этой окрестности. Это следует из теорем 5.4 и 5.7. Имеем следующую теорему. [c.144]
Пусть S есть открытое подмножество Rn. Тогда / S —> Rm дважды дифференцируема на S в том и только том случае, когда все частные производные дифференцируемы на S. [c.144]
Доказать теорему 8 для п = 2, предполагая, что все первые производные / дифференцируемы в с, но не предполагая, что / дважды дифференцируема в с. [c.152]
Если производная / ( ) дифференцируема (то есть выпуклая функция J(x) дважды дифференцируема), то / "( ) 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается равносильным приведенному выше определению выпуклой функции в курсах математического анализа выпуклость обычно определяют по знаку второй производной. Но в экономических приложениях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики которых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезным. [c.188]
Также очевидно, что функция / (k) в силу свойств F (/(, L) дважды непрерывно дифференцируема. Исследуем свойства ее производных [c.59]
Предположим, что показатель у получил приращение Дд> за анализируемый период пусть функция у = /(х,, х2,..., хт) дифференцируема и у =fXj (х,, x2,..., хт) — частная производная от этой функции по аргументу х . [c.131]
Большие возможности для исследования факторных моделей предоставляют методы дифференцированного исчисления, позволяющие учесть влияние каждого фактора на результирующий показатель. Форма связи факторов может быть произвольной, единственное требование — дифференцируемость функции, наличие частных производных. [c.434]
Влияние отдельного фактора пропорционально частной производной функции по этому фактору и приращению фактора. Например, для дифференцируемой функции двух переменных [c.434]
Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятностей F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей., выражаемый как производная F(x), то есть р(х) = dF(x)/dx. Эта зависимость называется плотностью распределения вероятностей. Плотность распределения р(х) обладает следующими свойствами [c.15]
Используя количественную функцию полезности, можно охарактеризовать не только общую полезность, но и предельную полезность — дополнительное увеличение данного уровня благосостояния, получаемое при потреблении дополнительного количества блага данного вида и неизменных количествах потребляемых благ всех остальных видов. При дифференцируемости функции полезности предельная полезность блага данного /-го вида является первой частной производной функции полезности U, выражающей общий уровень благосостояния данного потребителя в данной ситуации (по переменной Xt, соответствующей величине потребляемого блага данного /-го вида) и обозначается MU(X или MU . [c.115]
Сделав еще предположение об умеренности потребителя, то есть о выпуклости любого предпочтительного подмножества, когда любой промежуточный по отношению к двум данным набор явно предпочтительней, чем обе крайности, мы можем увидеть, что в таком случае функция полезности также будет выпуклой (поскольку значение функции полезности от любого промежуточного набора будет больше ее значений от крайних наборов). Если считать, что такая функция полезности является дважды дифференцируемой, то получится, что вторые частные производные данной функции будут отрицательными [c.116]
При небольших соответствующих изменениях, непрерывности и дифференцируемости функций издержек — это производные соответствующих функций общих издержек [c.272]
Предполагается, что F x) является дважды непрерывно дифференцируемой и неоклассической, кроме того, ее матрица вторых производных отрицательно определена. [c.227]
Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба. [c.58]
Если функция f(x) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Если она дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке. Если, кроме того, производная J[x) непрерывна на данном промежутке, то функция f(x) называется непрерывно дифференцируемой на этом промежутке. [c.92]
Операция нахождения П. называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке, причем она обязательно непрерывна в этой точке. (См. Непрерывная функция.) Функция, имеющая непрерывную производную в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывно дифференцируемой на этом интервале (промежутке). [c.286]
В силу свойства функций Л,/7),Ф, о непрерывной дифференцируемо-сти по аргументам х, и существуют непрерывные частные производные [c.75]
Поскольку r(u,v)/(u2 + v2)1/2 — > 0 при (u,v) — > (0,0), 0 дифференцируема всюду на R2, и ее производная равна вектор-строке (т/2, 2ху). [c.120]
На первую теорему об идентификации мы будем ссылаться на протяжении всей книги. Ее практическое значение состоит в том, что если / дифференцируема в заданной точке с и известен дифференциал d/ в этой точке, то сразу известны и значения частных производных в точке с. [c.125]
При интерпретации равенства (2) требуется определенная осторожность. Правая часть (2) существует тогда (и только тогда), когда существуют все частные производные Dj/Дс). Однако это еще не означает, что существует дифференциал d/( u). Мы знаем, что дифференциал существует тогда и только тогда, когда / дифференцируема в точке с ( 4). Мы знаем также, что, согласно теореме 5, существование частных производных — необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости. Следовательно, равенство (2) следует читать слева направо оно верно только тогда, когда / дифференцируема в точке с. [c.126]
Тогда ф дифференцируема всюду в R2 и ее частные производные равны [c.126]
Тогда Di0 и D20 равны нулю всюду, кроме Л, где они не определены. Таким образом, обе частные производные непрерывны в начале координат. Однако ф не дифференцируема в начале координат. [c.127]
Функция ф дифференцируема только в одной точке — начале координат. Частная производная по первому аргументу DI равна нулю в начале координат и во всех точках (ж, у) R2, где у иррационально. В остальных точках она не определена. Аналогичным образом, D20 равна нулю в начале координат и во всех точках (ж, у) R2, где х иррационально, и не определена в остальных точках. Таким образом, любой диск (двумерная шаровая окрестность) с центром в (0,0) содержит точки, где частные производные не существуют. [c.127]
В этом примере ф всюду непрерывна, обе частные производные существуют во всех точках R2, однако ф не дифференцируема в (О, О). [c.127]
Пусть / S —> Rm — функция, определенная на множестве S С Rn, и пусть с — внутренняя точка S. Если все частные производные Dj/ существуют в некоторой n-мерном шаре В (с) и непрерывны в с, то / дифференцируема в точке с. [c.128]
Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности матрицы вторых производных функции f(x] при всех положительных значениях вектора ресурсов х, т. е. эквива-лентио требованию [c.74]
В процессе статистического анализа задается apriori, что поведение потребителя описывается функцией полезности U.(Q), дважды дифференцируемой в m-мерном пространстве продуктов — благ с частными производными по переменным q.(i . Кроме того, /-и потребитель ограничен в своих рыночных действиях заданными ценами />. и фиксированными доходами х . Предполагается также, что т продуктов модели исчерпывают для потребителя всю информацию и все возможности. Поэтому он расходует свой совокупный доход только на перечисленные блага целевым образом. [c.228]
Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды (в качестве оси х выступает ось f), при / = 0 и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех/внутри данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от/непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по [c.61]
Между тем, в случае дифференцируемых функций активации рецепт нахождения производных по любому весу сети дается т.н. цепным правилом дифференцирования, известным любому первокурснику. Суть метода ba k-propagation - в эффективном воплощении этого правила. [c.58]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ [diffe-rentiable fun tion] — функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного — производную. [c.92]
В различных экономических приложениях применяются (и рассматриваются в словаре) следующие функции Взвешивающие, Дифференцируемые, Гладкие, Кусочно-линейные, Кусочно-непрерывные, Линейные, Нелинейные, Непрерывные, Се-парабелъные, Экспоненты и др. См. также Вектор-функция, Гессиан, Интеграл, Мультипликативная форма представления функции, Производная, Рекурсия, Частная производная, Эластичность функции. [c.379]
Отметим, что из факта существования функции Q в силу симметрии матрицы вторых производных (матрицы Гессе) для дважды дифференцируемой фунции нескольких переменных следуют равенства, связывающие чувствительности оценок к изменению запасов ресур- [c.219]
Условия (9.127) при соответствующем выборе вектора А могут быть выполнены для произвольной дважды дифференцируемой в нуле функции /о, при этом второе условие для функций /Q с ограниченными вторыми производными может быть выполнено для всех значений С. Таким образом, можно расчитывать, что для широкого класса задач решения уравнений (9.122) существуют. [c.358]
Дифференциометр (рис. 19.22) представляет собой визир, через который наблюдается дифференцируемая кривая. Процесс вычисления производной сводится к измерению той геометрической величины, которая соответствует производной искомой функции. [c.466]
Если / дифференцируема в точке с, то все частные производные Djfi( ) существуют. [c.123]
Поскольку (lij( ) существуют в силу дифференцируемости, то существует предел в правой части (6), который и является, по определению (1), частной производной Djfi( ). П [c.124]
Матрица D/( ) размера га х п в (2), ij-й элемент которой равен Dj/Дс), называется матрицей Якоби функции / в точке с. Она определена во всех точках, в которых существуют частные производные Djfi (г = 1,. . . , га j = 1,.. . , п) (так что матрица Якоби D/( ) может существовать даже тогда, когда функция / не дифференцируема в с). Если га = п, то определитель матрицы Якоби называется якобианом /. Матрица размера п х га, транспонированная по отношению к га х п матрице Якоби D/( ), называется градиентом f и обозначается V/( ) (символ V читается по-русски как набла 1). Таким образом, [c.125]
На данном этапе мы доказали ряд теорем, связанных с дифференциалами, при условии, что эти дифференциалы существуют, или, что то же самое, что функция диференцируема. Мы видели (в 7), что существование частных производных в данной точке — необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости (и даже не достаточное условие непрерывности). [c.126]