Как видно, описанный здесь метод решения, основанный на полном переборе вершин, является значительно более простым л эффективным, нежели непосредственное использование метода множителей Лагранжа. В то же время не следует считать, что решение задач линейного программирования является простым делом, состоящим просто в полном переборе вершин множества допустимых значений переменных. Для того чтобы понять это, достаточно заметить, что вершина множества допустимых точек (в том случае, когда это множество имеет внутренние точки) в задаче (4.22) — (4.24) связана с обращением в равенства п ограничений из их совокупности (4.23), (4.24). Таким образом, вообще говоря, число вершин множества (4.23), (4.24) может равняться числу различных сочетаний по п ограничений из общего числа т + п. Число различных сочетания [c.51]
Напомним, что зависимость k (s) определяется соотношением (3.13). Поэтому (s) = ф(/с ) — (ц+ т))/с, где f = f (s). Условие экстремума этой функции во внутренней точке отрезка [О, 1], к которому принадлежат допустимые значения управления s, выписывается в виде [c.247]
Недостатком предложенного подхода является то, что полученные точки могут представлять эффективное множество недостаточно хорошо. Чтобы преодолеть это затруднение, можно увеличить число точек в сетке. Так, взяв в задаче, представленной на рис, 6.9, сочетание A,i = 0,25 Х2 = 0,75, можно получить точку С Надо, однако, отметить, что увеличение числа точек затрудняет задачу их неформального анализа, стоящую перед ЛПР. Кроме того, во многих важных случаях даже очень сильное увеличение числа узлов сетки не может привести к правильному представлению эффективного множества. На рис. 6.10 эффективное множество — точки отрезка АВ. Если только направление, определяемое весами Я( и А,2, не будет ортогонально отрезку АВ (а это может произойти в методе сеток лишь случайно), мы будем при всех сочетаниях весов получать лишь точки А и В. Но ведь интересы ЛПР могут быть такими что его в наибольшей степени будут удовлетворять внутренние точки отрезка АВ, а при использовании метода сеток он их получить не сможет. [c.311]
Использование представления G/ в геометрическом виде на экране ЭВМ делает анализ множества Gf простым и удобным для ЛПР. Поскольку эффективное множество Pf является границей множества G/, то вместе с пониманием геометрии множества Gf ЛПР начинает понимать и геометрию множества Pf. Отметим, что знание всего множества G/ может иметь и самостоятельную ценность ведь предположение о том, что ЛПР заинтересована в постоянном увеличении критериев /ив выходе на эффективную границу, является лишь абстракцией — в реальности ЛПР может быть заинтересовано в создании некоторого резерва , что выразится в выборе внутренней точки множества G/, близкой к эффективному множеству. Если же ЛПР действительно заинтересовано в выходе на множество Pf, то на основе множества G/ можно легко построить другое множество, имеющее более простую геометрию, но ту же самую эффективную границу. [c.315]
Дело в том, что акционеры бывают двух основных типов внутренние (то есть руководители и другие работники самого предприятия, фирмы) — их называют инсайдерами и внешние — инвесторы, купившие акции данного АО, чтобы получать прибыль на вложенные средства — это аутсайдеры. Особым акционером является государство, если оно владеет тем или иным пакетом акций данного АО, вплоть до полного, когда акционерное предприятие является государственным. [c.140]
Брокерская фирма может исполнить ваш ордер внутренне, то есть продать вам акции из своего собственного запаса ценных бумаг или купить ваши акции для своего запаса. Таким путем брокерская контора имеет возможность сделать деньги на спреде — разности между ценой покупки и ценой продажи акции. [c.80]
Коррекция издержек перелива. Правительство способно корректировать такое избыточное выделение ресурсов двумя способами. Оба призваны перевести внешние издержки во внутренние, то есть заставить фирму-нарушителя саму нести эти затраты, а не перекладывать их на общество. [c.91]
Если трансферты полезности соответствуют внутреннему, то есть [c.56]
Теперь рассмотрим с помощью диаграммы Эджуорта эффективные варианты распределения потребительских благ. Возможные варианты распределения благ X и Y между участниками А и В представлены на графике внутренними точками прямоугольника. Пусть Z — начальное распределение благ X и Y Х=Хд+Хв, Y=YA+Ys. На графике показаны кривые безразличия участников А и В (заметьте, что для участника А вершина координат находится в правом верхнем углу, поэтому кривые безразличия для него выпуклы вверх). [c.238]
I1 и 1й совпадает и внутренних точек не имеется, а следовательно, решения нет. Если начало координат попадает внутрь области ОД, то не существует касательных гиперплоскостей, проходящих через начало координат и решение отсутствует. [c.80]
Отметим, что если в задаче НП требовалось бы найти не максимум, а минимум /о (а ) на том же множестве допустимых решений, то условия (9.72), (9.73), определяющие х и Л, не изменились бы, так как при выводе необходимых условий минимума в неравенствах (9.69) фигурировал бы знак >, однако для внутренней точки D такое неравенство переписывается как равенство, т.е. принимает вид (9.70), что и приводит к условиям (9.72). Это не удивительно потому, что для задачи о безусловном максимуме и минимуме дифференцируемой функции необходимые условия оптимальности совпадают. [c.332]
Из (9.102) следует, что начало координат в пространстве С является внутренней точкой выпуклой оболочки множества, состоящего из точек v (расположено между v). [c.346]
Из рис. 2.2 видно, что при смягчении заданий по выпуску продукции х,° и х2° можно уменьшить сумму штрафа вплоть до нуля. Так, сместив центр эллипса внутрь многогранника условий, получим, что оптимум достигается во внутренней точке. [c.62]
Доказательство. Пусть дан шар Б(с г) с центром в с и радиусом г, и ж — произвольная точка В (с г). Надо показать, что х является внутренней точкой В(с г), т.е. существует 8 > 0, такое что В(х 6) С В(с г). Рассмотрим [c.101]
Доказательство. Предположим вначале, что S замкнуто. Пусть х Rn — S. Тогда х ф S и, поскольку S содержит все свои предельные точки, х не является предельной точкой S. В силу этого существует n-мерный шар В (ж), не пересекающийся с 5, т. е. Б (ж) С Rn — 5. Из этого следует, что х — внутренняя точка Rn — 5, а значит, Rn — S — открытое множество. [c.101]
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что множество Rn — открыто. Пусть х Rn — предельная точка . Надо показать, что х . Предположим, что х ф S. Тогда ж Rn — и, поскольку все точки Rn — S — внутренние, то существует n-мерный шар В (х С Rn — S. Следовательно, в В (х нет точек из 5, что противоречит тому, что х — предельная точка S. Следовательно, х 5, а значит, S замкнуто. П [c.101]
Пусть х S. Тогда существует хотя бы одно множество из F (назовем его Л), такое что х А. Поскольку А открыто, х является его внутренней точкой, а значит, и внутренней точкой S. Из этого следует, что S открыто. [c.102]
Тогда х В(х] г) С Т. Следовательно, х — внутренняя точка Т, а значит, Т — открыто. П [c.102]
Доказательство. Пусть В (с г) — n-мерный шар радиуса г > 0 с центром в с. Пусть х и у — две внутренние точки шара В(с, г) и пусть 0 (ОД)- Тогда [c.108]
Пусть / S — > Rm — функция, определенная на множестве S С Rn. Пусть с — внутренняя точка S и пусть В(с]г) — n-мерный шар, целиком лежащий в S. Пусть и — точка Rn, такая что u < г, так что с + и В(с]г). Если существует вещественная матрица Л размера т х гг, зависящая от с, но не от и, такая, что [c.119]
Другими словами, / дифференцируема в точке с, если /(с + u) может быть сколь угодно хорошо приближена аффинной функцией от и. Отметим, что любая функция / может быть дифференцируемой только во внутренней точке или на открытом множестве. [c.119]
Пусть S С Rn. Функция / S — > Rm дифференцируема во внутренней точке с G тогда и только тогда, когда каждая компонента / дифференцируема в точке с. При этом г-я компонента дифференциала d/( u) есть dfi( -u)(i = 1,.. . , m). [c.120]
Пусть / S — > Rm — функция, определенная на множестве S С Rn, со значениями в Rm, и пусть ft S — > И (г = 1,. . . , га) — г-я компонента /. Пусть с — внутренняя точка , a j — j-й орт Rn, т. е. вектор, у которого j-я компонента равна 1, а остальные — 0. Рассмотрим точки вида с + tej Rn, компоненты которых, за исключением j-й, совпадают с соответствующими компонентами с. Поскольку с — внутренняя точка , то с + tej также принадлежит S при достаточно малых t. Рассмотрим предел [c.123]
Пусть / S —> Rm — векторная функция, определенная на множестве S С Нп, дифференцируемая во внутренней точке с S. Пусть и — п х 1 вектор. Тогда [c.125]
Пусть / S —> Rm — функция, определенная на множестве S С Rn, и пусть с — внутренняя точка S. Если все частные производные Dj/ существуют в некоторой n-мерном шаре В (с) и непрерывны в с, то / дифференцируема в точке с. [c.128]
Пусть S С Rn и пусть / S —> Rm дифференцируема во внутренней точке с G S. Пусть Т С Rm, причем f(x) G Т для всех х G S, и пусть g Т —> Пр дифференцируема во внутренней точке b = /(с) G Т. Тогда сложная функция h S —> Rp, определяемая как [c.130]
Доказательство. Положим Л = D/( ), В = Dg(6) и введем множества Е = х х G Rn, ж < г . Поскольку с G S и b G Т — внутренние точки соответ- [c.130]
Рассмотрим рынок опционов, на котором действуют естественные ограничители, и потому на нем присутствуют опционы лишь для конечного множества страйков. Эти страйки пронумерованы в возрастающем порядке и отстоят друг от друга на величину h. Введем необходимые обозначения. Рассматривается множество п страйков Eh / /, и для определенности положим/ = 1,2,...,п . Иногда, и так будет в приводимом ниже примере, удобнее вводить иную нумерацию множества страйков. Наряду с множеством / будем рассматривать и подмножество его "внутренних" точек /= 2,3,...,п—1 , а также множество/0 = 1,2,. ..,п-2 с тем же, как у множества/, количеством элементов. Множество /° применяется далее при установлении определенного порядка во множестве /. [c.19]
Для того чтобы построить множество парето-оптимальных точек P(Y), можно воспользоваться геометрическим соображением, заимствованным из рис. 1.2. А именно, по определению парето-оптимального вектора у для него не должно существовать такой точки у, что выполняется неравенство у > у. Геометрически все такие точки у представляют собой угол с вершиной в у. Следовательно, точка / е Y парето-оптимальна тогда и только тогда, когда соответствующий угол, имеющий вершину в точке у и стороны, параллельные координатным осям, не содержит ни одной точки множества возможных векторов Y. Отсюда ясно, что ни одна внутренняя точка множества 7 не может быть парето-оптимальной. А из граничных точек множества возможных точек У на роль парето-оптимальных могут претендовать лишь те, которые располагаются в ее северо-восточной части (т. е. линия AB D). При этом та часть границы, которая находится в провале (имеется в виду дуга ВС) также не может принадлежать множеству Парето. Наконец, из частей северо-восточной границы, которые параллельны координатным осям, парето-оптимальны-ми могут быть лишь крайние точки — среди точек отрезка D таковой будет точка D. В итоге приходим к следующему множеству парето-оптимальных точек — это дуга АВ (без точки В) и отдельная точка D. [c.42]
По построению int К с П. На самом деле имеет место включение К с П. Действительно, если это не так, то в силу замкнутости множества П найдется такая точка у К, что она не принадлежит П вместе с некоторой своей окрестностью intU(y). Если соединить отрезком точку у с какой-нибудь точкой из int К, то на основании теоремы 6.1 из [28] получим, что все внутренние точки указанного отрезка принадлежат int isf. Из этих внутренних точек множества К выберем какую-нибудь в пределах окрестности intU(y) и обозначим ее через у. Для нее получаем у int А", у . П, что противоречит включению int К с П. Таким образом, П — покрытие множества К. [c.138]
Перейдем к доказательству сходимости (5.6) недоминируемых множеств. Если у е У и у Ndom У, то по определению множества недоминируемых точек найдется точка у е У, для которой у - / А". Отсюда, используя условие теоремы о А -огра-ниченности множества У, получаем у - у К. Так как К — открытый конус, то можно считать, что z = у - у е int К (в противном случае, в качестве такой внутренней точки z можно взять, например, 0.5(у - у ) 6 int К). Тогда, как указано выше, существует [c.142]
Пусть ф S —> R — функция, определенная на множестве S С Rn и дифференцируемая в его внутренней точке с. Показать, что а) существует неотрицательное число М, зависящее от с, но не от и, такое что d0( ti) М г/ б) существует положительное число г/, также зависящее от с, но не от г/, такое что гс(г/) < u для всех и ф 0, таких что u < г]. Выведите из этого, что в) ф(с + и) — ф(с) < (1 + М) г/ для всех и ф 0, таких что u < rj. Про функцию, обладающую подобным свойством, говорится, что она удовлетворяет условию Липшица в точке с. Очевидно, что если функция удовлетворяет условию Липшица в данной точке, то она в этой точке непрерывна 1. [c.122]