Итак, одним из основных предполагаемых свойств отклонений ег значений yt от регрессионной формулы y=a+p x является их статистическая независимость между собой. Поскольку значения е( остаются неизвестными ввиду неизвестности истинных значений б и в, то проверяется статистическая независимость их аналогов - отклонений et. При этом проверяется обычно их некоррелированность (являющаяся необходимым, но недостаточным атрибутом независимости), причем некоррелированность не любых, а соседних величин е. Соседними можно считать соседние во времени (в случае временных рядов) или по возрастанию переменной х (в случае перекрестных выборок) значения е. Для этих величин можно рассчитать, например, коэффициент корреляции (называемый коэффициентом автокорреляции первого порядка) [c.322]
Важной проблемой при оценивании регрессии является автокорреляция остатков в., которая говорит об отсутствии первоначально предполагавшейся их взаимной независимости. Автокорреляция остатков первого порядка, выявляемая с помощью статистики Дарби-на-Уотсона, говорит о неверной спецификации уравнения либо о наличии неучтенных факторов. Естественно, для её устранения нужно попытаться выбрать более адекватную формулу зависимости, отыскать и включить важные неучтенные факторы или уточнить период оценивания регрессии. В некоторых случаях, однако, это не даст результата, а отклонения е. просто связаны авторегрессионной зависимостью. Если это авторефессия первого порядка, то её формула имеет вид е.=ре , + и. (р - коэффициент авторефессии, р <1), и мы предполагаем, что остатки ut в этой формуле обладают нужными свойствами, в частности - взаимно независимы. Оценив р, введем новые переменные /,=>>, - pj>M х =х - рх., (это преобразование называется авторегрессионным (AR), или преобразованием Бокса-Дженкинса). Пусть мы оцениваем первоначально формулу линейной рефессии у.= а + bxt + er Тогда [c.361]
Если величины .действительно обладают нужными свойствами, то в линейной рефессионной зависимости у. = о, + bx t + и. автокорреляции остатков и уже не будет, и статистика DWокажется близкой к двум. Коэффициент b этой формулы принимается для исходной формулы у = a+bx+е непосредственно, а коэффициент а [c.361]
Спецификация (6 ) получается из (5) при добавлении Bt(O в первое уравнение в (5). Она отличается от классической регрессии, используемый для тестирования на структурный скачок в AR(1), как, например, в работе Perron, Vogelsang (1992). Эта регрессия включает две двоичных переменных, описывающих скачки в виде импульса и ступеньки. Легко видеть, что второй член в (6 ) объединяет их свойства. В случае единичного корня (Я = 0) он даёт импульс в момент t при отсутствии автокорреляции (Я = -1) получается ступенька, охватывающая период 1,..., t -l (что соответствует одномоментному изменению константы регрессии в момент t" с ув на 0) при -1 < Я < 0 возникает суперпозиция импульса и ступеньки. Правда, такая универсализация достигается ценой нелинейности регрессии по коэффициентам и необходимости специально оценивать статистику теста на единичный корень для этой спецификации. [c.15]