Замечание. Полезно еще раз подчеркнуть, что решение задачи об оптимальной остановке (26) одновременно дает и значение рациональной стоимости (/jy Р), и определяет рациональный момент т предъявления покупателем опциона к исполнению. При этом, как правило, нельзя по отдельности найти (/jv Р) или т, и находятся они одновременно таз решения задачи (26). [c.195]
Как уже отмечалось, и для продавца (эмитента), и для покупателя опционного контракта прежде всего важен вопрос о том, что понимать под "справедливой" (иначе, "рациональной" ) стоимостью этого контракта. [c.248]
В частности, рациональная стоимость опциона задается формулой N Р) = X = (1 + r)-NFN(S0 p). (8) [c.254]
Теорема. Для стандартного опциона Европейского типа с функцией выплат f(Sff) = (Sw — К)+ справедливая (рациональная) стоимость [c.258]
Следующее интересное наблюдение (см., например, [121], [122]) показывает, как знание рациональных стоимостей С для функций выплат (Sff — К)+, К 0, может быть использовано при отыскании значений pj для опционов с другими функциями выплат /. [c.259]
Формулы (6) и (9) решают вопрос о значениях рациональной стоимости опционов покупателя и продавца. Для эмитента, выпускающего эти опционы, представляет большой практический интерес также и расчет совершенного хеджа тг = (0, 7), который может быть проведен, опираясь на формулы (15) и (14) предыдущего параграфа. Не останавливаясь на подробном анализе этих формул, ограничимся далее лишь рассмотрением одного простого примера, идея которого взята из работы [162]. (См. также [443] и сходный иллюстративный пример, рассмотренный в начале этой главы.) [c.259]
В этом смысле изложенная выше теория расчета рациональной стоимости действует в предположении, что р может быть любым числом, лишь бы О < р < 1, а в качестве того значения, относительно которого можно все рассчитывать (по классической схеме), надо брать значение [c.260]
Как следует из изложенного выше, отыскание рациональных стоимостей Слг (/ Р) в случае SQ = х сводится к отысканию функций VQ (х) = QNg(x), которые могут быть рассчитаны рекуррентным образом, используя то, что [c.278]
Знание функции V — V (х) представляет интерес и с той точки зрения, что V (Sb) есть, в то же самое время, значение рациональной стоимости [c.278]
Рациональная стоимость Соо(/ Р) для опциона-колл Американского типа с функциями выплат fn = n(Sn — 1)+, n 0, определяется формулой [c.284]
Рациональная стоимость 00(f P) для опциона-пут Американского типа с функциями выплат fn = /3"(1 — Sn)+, п 0, определяется формулой [c.288]
Согласно общей теории (см. раздел 2), рациональная стоимость С такого опциона рассчитывается по формуле [c.289]
Выше, как для случал дискретного, так и для случал непрерывного времени, было уделено достаточно много внимания вопросам построения вероятностных мер, относительно которых процессы пен являются мартингалами или локальными мартингалами. Связано это, главным образом, с тем, что наличие эквивалентных мартингальных мер позволяет в достаточно широких предположениях утверждать, что арбитражные возможности отсутствуют (см. 2Ь, с). К тому же знание множества всех таких мер дает возможность, используя мартингальную технику, производить расчеты, например, справедливых (рациональных) стоимостей, находить хеджирующие стратегии и т. д. [c.380]
В связи с описанным выше подходом к определению рациональной стоимости, основанном на обращении к фундаментальному уравнению, вернемся к обсуждавшемуся в 2d (замечание 2) вопросу о взаимоотношениях концепций арбитража, (локально) мартингальной меры и полноты. [c.395]
Считая, что цены акций флуктуируют как броуновское движение, Л. Башелье привел ряд расчетов для (рациональных) стоимостей некоторых опционов, имевших в его время хождение во Франции, и затем сравнил их с реальными рыночными ценами. [c.417]
Теорема ("формула Башелье"). В модели (1) рациональная стоимость Ст = С(/т Р) стандартного опциона-колл Европейского типа с платежной функцией /т = (5т — -К")" " определяется формулой [c.418]
Из теоремы в 4а, гл. VII, следует, что в классе 0-допустимых стратегий тг = (/3,7) с f i S du < оо (Р-п.н.) рациональная стоимость Ст = С(/т Р) определяется следующей формулой [c.424]
Пусть РТ - рациональная стоимость стандартного опциона-пут Европейского типа с платежной функцией /т = (К 5т)+ Тогда, поскольку [c.425]
Приведем теперь тот оригинальный вывод формул ы Блэка и Шоулса для рациональной стоимости опционных контрактов, который был независимо дан Ф. Блэком и М. Шоулсом, [44], и Р. Мертоном, [346], в 1973 году. [c.430]
Естественно, конечно, что первый вопрос, который возникал перед этими авторами, это вопрос о том, что следует понимать под рациональной стоимостью. Замечательная по своей простоте и эффективности их идея состояла в том, что эта стоимость должна быть ничем иным, как той минимальной величиной начального капитала, которая дает продавцу опциона возможность построения хеджирующего портфеля. [c.430]
Теорема. Рациональные стоимости Qr(<5 r) и Рт(<5 г) опциона-колл и опциона-пут при наличии дивидендов от акции задаются формулами [c.435]
Перейдем теперь к вопросу об отыскании рациональной стоимости V (T,x)=Y (Q,x). Определим [c.469]
В предположении, что процентная ставка г банковского счета равна нулю, формула Блэка и Шоулса дает следующее выражение для рациональной стоимости С — Е(5т — К)+ стандартного ошшона-колл [c.24]
Затрагивая вопрос о возможных обобщениях рассмотренной биномиальной модели, отметим, что весьма реалистично было бы также и предположение, что величины рп принимают не два значения о и Ь, а значения из интервала [а, Ь], при этом, вообще говоря, распределением вероятностей рп может быть любое распределение на [а, Ь]. Именно такая модель будет рассматриваться в 1с, гл. V, в связи с теорией расчетов рациональной стоимости опционов на так называемых неполных рынках. В этом же параграфе будет рассмотрен и невероятностный подход, основанный на представлении, что рп - "хаотические" величины. (По поводу описания эволюции цен моделями динамического "хаоса" см. далее 4а,Ь.) [c.139]
Пусть цена акпии управляется уравнением (4) с 5о = 1 (для простоты) и С = С(ст, Т, К) - рациональная стоимость стандартного опциона-колл Европейского типа с функцией выплаты fa = max(5x — К, 0). [c.347]
Осознанию важности понятия волатильности во многом способствовала известная работа Ф. Блэка и М. Шоулса [44], 1973 г., в которой была дана формула для справедливой (рациональной) стоимости Ст стандартного оппиона-колл (см. 1Ь в гл. I). Согласно этой формуле, величина Ст не зависит от /j, (факт, на первый взгляд, удивительный ), но зависит от значения волатильности а, входящей в формулу, определяющую эволюцию цен акций S = [c.417]
Крамков Д. О., Ширяев А.Н. О расчетах рациональной стоимости "Русского опциона" в симметричной биномиальной модели (В, 5)-рынка // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. С. 191-200. [c.470]
В связи с последним вопросом целесообразно напомнить, что мы уже имели дело с разными способами построения мартингальных мер, основанными, например, на преобразованиях Гирсанова и Эшера. Напомним также, что понятие минимальной мартингальной меры, о котором шла речь в 3d, гл. V, возникло (в работах Г. Фёльмера и М. Швайдера см., например, [167] и [429]) именно в связи с вопросами о том, какие мартингальные меры из SP(Pn) следует рассматривать в качестве наиболее "естественных" кандидатов при образовании цепей мер (P")n i, используемых для финансовых расчетов. (В этой связи не будет лишним подчеркнуть, что, скажем, расчеты цен хеджирования, рациональных стоимостей опционных контрактов осуществляются с привлечением именно мартингальных мер Р" и Р, а не исходных (также говорят - физических) мер Р" и Р см., например, "основную формулу для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках" (8) в 1с или формулу (20) в 4Ь.) [c.231]
Приведенный пример неоднородной модели Кокса-Росса-Рубинштейна показывает, что при выборе этих моделей в качестве аппроксимаци-онных для модели Блэка-Мертона-Шоулса с параметрами (ц,а2) надо быть достаточно осторожным, подбирая параметры (р, q, а, Ь) "допредельных" моделей, поскольку даже при наличии сходимости (27) относительно исходных вероятностных мер вполне может случиться, что соответствующая сходимость относительно мартингальных мер (сходимость к модели Блэка-Мертона-Шоулса с параметрами (/и, а2)) не имеет места. А это, в свою очередь, приводит к тому, что рациональные стоимости (хеджирования) С" в "допредельных" моделях могут не сходиться к (ожидаемой) стоимости i в "предельной" модели. [c.240]
Один из кардинальных вопросов, связанных с опционами, состоит в том, как рассчитывать ту справедливую, рациональную стоимость "премии" которую следует платить за приобретение опционного контракта. Этот вопрос интересует и покупателя и эмитента-продавца ценной бумаги, для которого также важен вопрос о том, как распорядиться полученной "премией" чтобы гарантировать выполнение условий, оговариваемых при заключении контракта. Разунйеется, эмитента интересует также [c.246]
По счастью, однако, для решения рассматриваемой задачи есть другие методы построения хеджирующих стратегий и отыскания "рациональной" стоимости С(/т Р) (например, "мартингальный" метод, изложенный в 4Ь), которые показывают и то, что хеджирующий портфель существует, и то, что его цена имеет вид Y(t, St) и является достаточно гладкой, а следовательно, уравнение (9), действительно, имеет место. Более подробный анализ для стандартного Европейского ошщона-колл с /(Т, ST) = (Зт — К)+ будет приведен в 1Ь, гл. VIII, с обсуждением и использованием как "мартингального подхода" так и подхода, опирающегося на рас смотренное выше фундаментальное уравнение. [c.393]
Модель геометрического броуновского движения (2) была предложена в 1965 году П. Самуэльсоном в работе [420], и именно она легла в основу модели Блэка-Мертона-Шоулса, с которой связана знаменитая формула Блэка и Шоулса для рациональной стоимости стандартного опцио-на-колл Европейского типа с функцией выплат fa = (Зт — К)+, полученная в 1973 году в работах [44] и [346]. [c.422]
Теорема (формула Блэкаи Шоулса). В модели (5)-(6) рациональная стоимость Су = С(/г Р) стандартного опциона-колл Европейского типа с платежной функцией /т = (Зт — К)+ определяется формулой [c.423]
Мартингальный" вывод, данный в 1Ь, был основал на том, что в рассматриваемой модели (В, S )-рынка существовала, и притом единственная, мартингальная мера. Это определило безарбитражность рассматриваемой модели и дало возможность рассчитывать рациональную стоимость [c.432]
Отсюда выводим (ср. с (13) в 1Ь), что рациональная стоимость опцио-на-колл Ст№ г) определяется формулой [c.434]
Отыскание функций V (x) tiV (x) имеет самое прямое отношение к расчетам рассматриваемого стандартного ошщона-колл Американского типа, поскольку значения V (x)viV (х)в точности совпадают со значениями рациональных стоимостей, в предположении, что покупатель опциона может выбирать момент предъявления опциона или в классе Wig0 или в классе 9Л ° и SQ = х. (Случай т = оо соответствует непредъявлению опциона к исполнению.) Доказательство этого утверждения в случае дискретного времени проводится так же, как и доказательство теоремы 1 в 2с, гл. VI. В случае же непрерывного времени, в сущности, мало что меняется см. подробнее, например, [33], [265], [281]. К тому же, если т и т - оптимальные моменты в решении задач (7), (8), то они будут оптимальными моментами предъявления покупателем опционов (в классах Wig0 или 9Л0 ). [c.437]
Напомним, что с фундаментальным уравнением (12), которое есть не что иное, как уравнение Фейнмана-Капа ( 3f, гл. III), мы уже сталкивались в 1с в связи с методом, примененным Ф. Блэком и М. Шоулсом в [44] и Р. Мертоном в [346] для расчета рациональной стоимости (V(T, x) = У (О, ж)) стандартного оппиона-колл Европейского типа с д(х) = (х — К)+ иА = 0. [c.469]
Смотреть страницы где упоминается термин Рациональная стоимость
: [c.24] [c.24] [c.98] [c.41] [c.144] [c.144] [c.247] [c.249] [c.253] [c.257] [c.259] [c.274] [c.285]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.38 , c.512 ]