Таким образом, для проверки, является ли дифференцируемая функция (строго) выпуклой, у нас есть четыре критерия определение из 4.9, теоремы 5, 6 и, если функция дважды дифференцируемая, теорема 7. [c.176]
В неоклассической теории производственных функций предполагается также, что производственная функция дважды дифференцируема, причем [c.33]
На рис. 17.9 видны не только различия основных функций менеджеров различного уровня динамичности (влияние наличия времени), но и то, что появляется объективная потребность использовать один и тот же элемент функции дважды (коммуникации, мотивацию, порядок подбора кадров и меры по развитию личности) первый раз в системе принятого в организации порядка, а второй раз, когда в условиях резкого недостатка времени приходится обеспечивать выполнение конкретных работ в сложившихся условиях. [c.389]
Прежде чем переходить к экономическим соображениям, сделаем предположение, имеющее скорее математический характер, нежели экономический. Пусть производственная функция является дважды непрерывно дифференцируемой. Это предположение означает, что, во-первых, входные переменные могут меняться непрерывно, и во-вторых, результат деятельности достаточно гладко меняется при изменении количеств используемых ресурсов, что является естественным при моделирования такого большого объекта, как экономика страны, и очень удобным (впрочем, нам встретятся отдельные примеры производственных функций, где это предположение не выполняется). [c.53]
Также очевидно, что функция / (k) в силу свойств F (/(, L) дважды непрерывно дифференцируема. Исследуем свойства ее производных [c.59]
В том случае, когда функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости / (х) эквивалентно требованию неположительной определенности при всех положительных значениях ресурсов матрицы Н вторых [c.93]
В том случае, когда используется единственный ресурс, требование вогнутости дважды непрерывно дифференцируемой производственной функции / (х) принимает вид неравенства [c.94]
Согласно действующему с 1978 г. уставу Совет управляющих может учредить новый постоянный орган управления — Совет на уровне министров стран-членов для наблюдения за регулированием и адаптацией мировой валютной системы. Однако он пока не создан, и его роль играет Временный комитет Совета управляющих по вопросам мировой валютной системы, состоящий из 24 управляющих МВФ, в том числе от России, и учрежденный в 1974 г. Он собирается дважды в год. Однако в отличие от предполагаемого Совета Временный комитет не имеет полномочий для принятия директивных решений. Тем не менее он выполняет важные функции руководит Исполнительным советом вырабатывает стратегические решения, относящиеся к функционированию мировой валютной системы и деятельности МВФ представляет Совету управляющих предложения о внесении поправок в Статьи Со- [c.430]
Третье предположение. По мере увеличения коли-ч.ества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает. Математически это требование для дважды дифференцируемых производственных функций (2.8) выглядит так [c.72]
Q Зависимые ячейки — для отображения стрелок на ячейки (функции), которые явно зависят от значения текущей ячейки (аргумента). Для просмотра всех связей следует дважды нажать эту кнопку. [c.375]
Делая предположения о свойствах данной функции, будет разумным допусти ть, что она является дважды дифференцируемой и выпуклой. Последнее с экономической точки зрения соответствует эффекту убывающей отдачи от масштабов.1 Пример функции, удовлетворяющей таким условиям, показан на рис. 3.1. [c.90]
Если функция /. (Q) задана на /n-мерном пространстве R"1 и дважды непрерывно-дифференцируема, то матрица (Uia) [c.229]
Построение кривой безразличия. Как было указано выше, Слуцкий впервые в 1915 г. определил функцию общей полезности, к которой этот исследователь предъявлял следующие требования функция должна задаваться только сочетанием благ Q и дважды дифференцироваться. [c.244]
Заметим, что если функции выигрышей дважды непрерывно [c.62]
Сделав еще предположение об умеренности потребителя, то есть о выпуклости любого предпочтительного подмножества, когда любой промежуточный по отношению к двум данным набор явно предпочтительней, чем обе крайности, мы можем увидеть, что в таком случае функция полезности также будет выпуклой (поскольку значение функции полезности от любого промежуточного набора будет больше ее значений от крайних наборов). Если считать, что такая функция полезности является дважды дифференцируемой, то получится, что вторые частные производные данной функции будут отрицательными [c.116]
Теперь давайте обратимся к анализу предпочтений Максима. Если дважды продифференцировать его функцию полезности [c.72]
Пусть функция полезности U(x) будет дважды непрерывно дифференцируемой. Покажите с помощью интегрирования по частям, что [c.96]
Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба. [c.58]
Пусть функция благосостояния системы представляет собой сумму функций благосостояния 8 (М , N отдельных ЭА, а последние непрерывные, дважды дифференцируемые и строго выпуклые вверх тогда задача [c.231]
Рассмотрим вопрос о том, как выбирать функцию Ф, чтобы достигнуть эквивалентности расширения. Пусть функция R ( ) дважды дифференцируема, тогда для эквивалентности необходимо, чтобы в точке С = 0 она была стационарна [см. (9.96)] [c.350]
Уравнение (3) называется разложением Тейлора второго порядка. Естественно возникает вопрос, можно ли определить дважды дифференцируемость как существование разложения Тейлора второго порядка. На этот вопрос следует ответить отрицательно. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим функцию ф R2 —> R, определенную уравнением [c.143]
Функция ф дифференцируема только в точке (0, 0). Частная производная DI равна нулю в начале координат и в любой точке из R2, где у иррационально в других точках она не определена. Аналогично, D20 равна нулю в начале координат, а также в каждой точке из R2, где х иррационально в других точках она не определена. Следовательно, ни одна из частных производных не дифференцируема ни в одной точке из R. С другой стороны, существует единственная матрица В (нулевая матрица), такая что разложение Тейлора второго порядка (3) выполняется в точке с = 0. Конечно, мы не хотим сказать, что ф дважды дифференцируема в точке, когда ее частные производные не дифференцируемы в этой точке [c.143]
Пусть S есть подмножество Rn. Функция / S —> Rm дважды дифференцируема во внутренней точке с множества S тогда и только тогда, когда каждая ее компонента дважды дифференцируема в с. [c.144]
Пусть / S —> Rm есть функция, заданная на множестве S в Rn, а с есть внутренняя точка S. Если каждая частная производная первого порядка непрерывна в некотором n-мерном шаре В (с), а каждая частная производная второго порядка существует в В (с) и непрерывна в с, то / дважды дифференцируема в с и существует второй дифференциал / в с. [c.145]
Давайте теперь вычислим второй дифференциал вещественной функции ф S — > R, где S есть подмножество Rn. В предположении, что ф дважды дифференцируема в точке с 5, можно определить [c.146]
Рассмотрим теперь вопрос единственности. Нам дана вещественная функция 0, дважды дифференцируемая в с, и мы вычисляем ее первый и второй дифференциалы в с. Пусть [c.146]
Пусть ф S — > R есть вещественная функция, определенная на множестве S из Rn, дважды дифференцируемая во внутренней точке с из S. Пусть и есть n x 1 вектор. Тогда [c.149]
Поскольку ф дважды дифференцируема в с, то найдется n-мерный шар В(с р) С В (с г), такой что 0 дифференцируема в каждой точке В(с р). Пусть А(р) = х х Rn, ж < / , и определим вещественную функцию ф А(р) —> R уравнением [c.151]
Если / дважды дифференцируема в с, a g дважды дифференцируема в b = /(с), то второй дифференциал сложной функции h = g о / равен [c.154]
Обсудим теперь, как и в случае с маршаллианским спросом, необходимые и достаточные условия максимума задачи поиска хиксианского спроса. Предположим, как и ранее, что функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, предпочтения удовлетворяют свойству локальной ненасыщаемости, выпуклы и, кроме того, реМ++. Несложно заметить, что при выполнении этих предположений целевая функция задачи поиска хиксианского спроса вогнута (выполнено условие 4) и, даже больше, целевая функция дважды непрерывно дифференцируема и не равна 0 (выполнено условие 3). В силу этого, условия Куна- [c.68]
Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности матрицы вторых производных функции f(x] при всех положительных значениях вектора ресурсов х, т. е. эквива-лентио требованию [c.74]
Потребление каждого из ресурсов задается однозначной функцией количества выпускаемой продукции. Замещение ресурсов здесь невозможно. Ресурсы в функции затрат являются взаимодополняющими объемы потребления ресурсов определяются жесткими технологическими условиями, нехватка хотя бы одного из ресурсов не позволяет полностью использовать остальные ресурсы 1аким образом, описание производства с помощью функций затрат принципиально отличается от его описания с помощью функции выпуска, где, вообще говоря, замещение ресурсов допустимо Относительно функций затрат (4.5) формулируются предположения, близкие по характеру к свойствам функции затрат с одним ресурсом (4.2). Прежде всего, для простоты часто предполагается, что функция затрат является дважды непрерывно дифференцируемой. Далее, по аналогии с (4.2) считается что во-первых, [c.97]
В процессе статистического анализа задается apriori, что поведение потребителя описывается функцией полезности U.(Q), дважды дифференцируемой в m-мерном пространстве продуктов — благ с частными производными по переменным q.(i . Кроме того, /-и потребитель ограничен в своих рыночных действиях заданными ценами />. и фиксированными доходами х . Предполагается также, что т продуктов модели исчерпывают для потребителя всю информацию и все возможности. Поэтому он расходует свой совокупный доход только на перечисленные блага целевым образом. [c.228]
Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды (в качестве оси х выступает ось f), при / = 0 и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех/внутри данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от/непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по [c.61]
Отметим, что из факта существования функции Q в силу симметрии матрицы вторых производных (матрицы Гессе) для дважды дифференцируемой фунции нескольких переменных следуют равенства, связывающие чувствительности оценок к изменению запасов ресур- [c.219]
Условия (9.127) при соответствующем выборе вектора А могут быть выполнены для произвольной дважды дифференцируемой в нуле функции /о, при этом второе условие для функций /Q с ограниченными вторыми производными может быть выполнено для всех значений С. Таким образом, можно расчитывать, что для широкого класса задач решения уравнений (9.122) существуют. [c.358]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Пусть / S —> Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn, а с есть внутренняя точка S. Если / дифференцируема в некотором п-мерном шаре В(с) и каждая из частных производных Djfi дифференцируема в с, то будем говорить, что / дважды дифференцируема в с. Если / дважды дифференцируема в каждой точке открытого подмножества Е из S, мы говорим, что / дважды дифференцируема на Е. [c.144]
Пусть / S — > Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn. Если / дважды дифференцируема во внутренней точке с из 5, то тп х п матрица Гессе Н/ является симметричной по столбцам в с, т.е. [c.149]
Пусть S есть подмножество Rn и пред пол ожим, что / S —> Rm дважды дифференцируема во внутренней точке с множества S. Пусть Т есть подмножество Rm, такое что f(x) Т для всех х S, и предположим, что g Т —> Rp дважды дифференцируема во внутренней точке b = /(с) множества Т. Тогда сложная функция h S —> Rp, заданная как [c.153]