Задачу, поставленную в предыдущем параграфе, можно решить путем разложения стоящей под знаком интеграла функции в ряд Тейлора с последующим интегрированием этого [c.46]
Функцию под знаком интеграла можно разложить в ряд Тейлора следующим образом [c.47]
Подставив это разложение под знак интеграла и проведя интегрирование, получим [c.47]
Отмеченные выше условия, которым удовлетворяют функции Jj и Xjj приводят к тому, что сумма, стоящая под знаком интеграла, положительно определенная. [c.54]
Подставляя значение v под знак интеграла и изменяя пределы интегрирования, получаем [c.100]
Знак f называется знаком интеграла, функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение /(ж) dx — подынтегральным выражением, переменная х — переменной интегрирования. [c.203]
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла [c.205]
Затухание непериодическое 381 Затухающие колебания 381 Знак интеграла 203 Знаменатель прогрессии 52 [c.458]
Преобразуем функционал F к более удобному виду, вынося производные по t и ха за знак интеграла. Используя ограничение (6.7), получим [c.355]
При кусочно-постоянном управляющем воздействии можно вынести U(tj) U (г) из-под знака интеграла в выражении (7.3.23) и положить [c.176]
Дифференцируя Ff(x) под знаком интеграла по х, получаем [c.45]
При выводе уравнения (14) операция дифференцирования под знаком интеграла была возможна лишь при условии существования условного математического ожидания функции Q(Sn) гл. когда [c.191]
На пересечении строк и граф таблицы находится значение вероятности F(t), соответствующее данному значению /. Для краткости записи в таблице приводятся только десятичные знаки вероятности, следовательно, к табличному значению F(t) надо приписывать ноль целых. Например, чтобы определить, какая вероятность соответствует /= 1,96, надо взять строку 1,9 и графу 6 и на их пересечении прочитать значение вероятности, добавив перед первым знаком ноль целых. Если / = 1,96, то F(f)= 0,9500. По мере увеличения t (уже при / = 3) значение интеграла вероятностей приближается к единице. Чем шире пределы t, тем большая площадь под кривой охватывается ординатами, восстановленными из соответствующих значений /. Поскольку вероятность — это отношение части площади под кривой, заключенной между ординатами, ко всей площади, соответственно возрастает и вероятность. [c.168]
Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие. [c.108]
Если а < b и /(ж) меняет знак на отрезке [а, 6], то определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3) [c.228]
Доказанную формулу называют формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. При использовании этой формулы определенного интеграла [c.241]
При вычислении определенного интеграла методом подстановки принято введение новой переменной, смену пределов интегрирования и другие пояснения записывать в специальных скобках между знаками равенства. [c.242]
Под знаком предела стоит интегральная сумма, так что предел есть интеграл [c.637]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Интеграл в выражении (2.2.3) может иметь, например, следующий смысл минимизировать затраты, связанные с обеспечением заданного спроса. Если при этом заданы (со знаком минус) цены на различные виды топлива у потребителей, то минимизация затрат эквивалентна максимизации валовой прибыли. Более мягкие ограничения связаны с использованием критерия минимума среднего квадрата отклонений от верхнего уровня спроса [c.128]
Определение. Функция Дх) называется подынтегральной функцией, j(x)dx- подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, символ J - знаком неопределенного интеграла, С -постоянной интегрирования. [c.57]
Пусть Фт(х) йт-измеримый функционал такой, что E[ZT Фт(Х(ш)). Тогдаиз (27) по формуле замены переменных под знаком интеграла Лебега (см., например, [439 гл. II, 6]) [c.349]
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = onst 0, то J af(x)dx = а f(x)dx. [c.57]
Особо выделим также следующий результат (типа теоремы Лебега о мажорируемой сходимости) относительно возможности предельного перехода под знаком стохастического интеграла [c.363]
При перестанс ОЛЕ ке пределов интегрирования интеграл меняет знак н-а обратный [c.156]