Выпуклые множества и функции

III. Выпуклые множества и функции 569  [c.569]

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпуклым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидны. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпуклостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедительность.  [c.569]


Выпуклые множества и функции 573  [c.573]

С понятием отрезка связано другое понятие — выпуклости. В математическом приложении Выпуклые множества и функции , помещенном в прошлом номере Э. Ш. , было приведено определение выпуклого множества на плоскости. Теперь мы можем распространить его на пространство любой размерности  [c.251]

Свойства выпуклых (а следовательно, и вогнутых) функций рассматривались нами в Математическом приложении Выпуклые множества и функции (вып. 1). Одно из них применительно к вогнутым функциям сводится к следующему. Пусть xlf x2,. .., хп— произвольные значения аргумента вогнутой функции f(x), числа А , Л,2,. .., — неотрицательны, в сумме равны единице, а в остальном произвольны. Тогда  [c.397]

Пусть А с Ж" — непустое, компактное и выпуклое множество и функция/ А —> А непрерывна на А. Тогда существует точка х е А  [c.695]


При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство многих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения многих экономических объектов связан с тем. что определенные зависимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпуклостью функций и множеств часто связано существование или единственность решения экономических задач на этом же свойстве основаны многие вычислительные алгоритмы.  [c.569]

Условия epi/- выпуклое множество и /(х) — выпуклая функция эквиваленты. Из непрерывности /(х) следует, что epi/ — замкнутое множество. Если /(х) - выпуклая функция, то dom/- выпуклое множество.  [c.92]

Так же, как и для упругого тела, доказывается, что условия (8.10) или (8.8) достаточны для ограниченности функционала /(и) снизу. Отсюда при дополнительных условиях, указанных в 1 гл. II, следует теорема существования. Теорема единственности вытекает из строгой выпуклости диссипативного потенциала и выпуклости множества допустимых функций.  [c.239]

В случае периодических функций ак (у) стационарные точки вариационных задач (9.33) и (9.35) являются периодическими функциями . В самом деле, при строго выпуклой по и,,- функции Л (а, и, и,/) функционалы в (9.33) и (9.35) являются строго выпуклыми и имеют одну стационарную точку. Решения периодической задачи на ячейке принадлежит множеству допустимых функций и удовлетворяют уравнениям Эйлера вариационных задач (9.33) и (9.35) и, следовательно, доставляют минимум в (9.33) и максимуме (9.35). При этом минимуме (9.33) и максимум в (9.35) совпадают.  [c.379]


Из строгой выпуклости функционала J (при Х(у) >0к<ф) = 0) и выпуклости множества периодических функций следует, что минимизирующий элемент находится единственным образом.  [c.406]

В экономических приложениях широко используются понятия выпуклого множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. Сначала приведём определение для случая, когда л=2.  [c.103]

Если же для некоторой функции выполнено обратное условие, то ее называют вогнутой (или выпуклой вверх). Пример выпуклой функции приведен па рис. 1.4, а вогнутой — на рис. 1.5. Можно показать, что в том случае, когда все функции gp(x) (р = 1,. .., пг) выпуклы, множество X также выпукло ). Понятие выпуклости функций и множеств играет важную роль в экономико-математическом моделировании, поскольку позволяет получить интересные качественные результаты.  [c.34]

Выпуклые многогранники и выпуклые многогранные конусы принадлежат к числу наиболее распространенных понятий математической экономики. В линейном и выпуклом программировании используются обязательно выпуклые области изменения переменных (допустимые множества по теоретико-множественной терминологии, многогранники — по геометрической) и выпуклые целевые функции.  [c.57]

В зависимости от вида используемых критериев оптимальности целевых функций или функционалов) и ограничений модели (множества допустимых решений) различают скалярную О., векторную О., многокритериальную О., стохастическую О. (см. Стохастическое программирование), гладкую и негладкую (см. Гладкая функция), дискретную и непрерывную (см. Дискретность, Непрерывность), выпуклую и вогнутую (см. Выпуклость, вогнутость) и др. Численные методы О., т.е. методы построения алгоритмов нахождения оптимальных значений целевых функций и соответствующих точек области допустимых значений,—развитый отдел современной вычислительной математики. См. Оптимальная задача.  [c.247]

Выпуклая область 57 Выпуклая оболочка 57 Выпуклая целевая функция 385 Выпуклое программирование 57 Выпуклость 57 Выпуклость функции 57 Выпуклые множества 57 Выпуклые функции 57 Выпуклый многогранник 198 Выпуск (годовое производство) товаров и  [c.462]

Нетрудно доказать следующее утверждение в том случае, когда задача НП выпукла (функция /о выпукла вверх и множество D выпукло), множество V и функция достижимости / (С) также выпуклы.  [c.340]

Пусть ф и ф — две выпуклые функции, определенные на выпуклом множестве S С Rn. Тогда их линейная комбинация  [c.111]

Доказательство. Пусть ф — выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве S С Rn, и пусть ф — возрастающая функция одной переменной, определенная на множестве значений ф. Пусть также г](х) = ф[ф(х)]. Тогда  [c.112]

Пусть вещественная функция ф S — > R определена и дифференцируема на открытом выпуклом множестве S С Rn. Тогда ф выпукла на S в том и только том случае, когда  [c.172]

Пусть вещественная функция ф S —> R определена и дифференцируема на выпуклом множестве S С Rn, a g S —> ]R,m(m < n) — векторная функция, определенная и дифференцируемая на S. Пусть с — точка 5, а / — вектор из Rm. Определим функцию Лагранжа ф S —> R как  [c.189]

Из рассуждений 3 вытекает, что если функции фг(о>, х). определяющие целевой функционал и ограничения задачи, выпуклы при каждом со, а X — выпуклое множество, то оптимальное значение целевого функционала, достигаемое на решающих распределениях, может быть достигнуто и на решающих правилах. Ниже установлены отдельно для случаев априорных и апостериорных решающих распределений достаточные условия, гарантирующие совпадение оптимальных значений целевых функционалов на чистых и смешанных стратегиях.  [c.145]

Теорема 4.2. Пусть Х и У — произвольные множества, а функция f(x, и) вогнуто-выпуклая на XxY. Если для любого  [c.215]

Если распределение случайных элементов набора (А, Ь, с) не зависит от х, то для любой пары (А, Ь) норма невязки Ах — Ь и математическое ожидание этой нормы — выпуклые вниз функции х. Следовательно, задача (4.7) является задачей выпуклого программирования и множество Qi — выпуклая область в Rn. В этом случае и задача (4.8), как задача максимизации линейной формы на выпуклом множестве, является задачей выпуклого программирования.  [c.269]

Как известно, условия первого порядка показывают точки экстремума, а для нахождения собственно точки максимума требуется найти условия второго порядка. Для того чтобы условия второго порядка действительно показали точку максимума, соответствующую (3), требуется предположить вогнутость функции полезности (1) и выпуклость множества производственных возможностей.  [c.407]

Таким образом, функция f(x), заданная на выпуклом множестве, выпукла вниз, если она обладает следующим свойством для любых двух чисел хг и х2 из области определения функции и любого числа А, из отрезка [О, 1 ] выполняется неравенство (3).  [c.573]

Естественным образом определяются на любом выпуклом множестве z и вогнутые функции.  [c.135]

Общая задача В.п. состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такойточ-ки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции J[x) или максимум вогнутой функции у(х) (рис. В.4). Для второго случая (выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов предпочитают термин "вогнутое программирование". Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как соответственно локальные и глобальный экстремумы здесь обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, напр., издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором случае — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее.  [c.57]

НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА [fixed point] функции, отображения) —точках, принадлежащая некоторому компактному выпуклому множеству S и обладающая тем свойством, что она отображается в себя (см. Отображение) х - F(x ). На  [c.224]

Заметим, что множество допустимых решений задачи нелинейного программирования (9.81) может быть пусто, т.е. внутри Vx, например, нет элементов, для которых fi(x) равнялись бы нулю. При этом функция /о (С) не определена в точке С = 0. Однако для построения ova/Q множество V дополняют до его выпуклой оболочки, и на дополнительных участках / (С) считают достаточно малой. При этом oy /Q на этих участках определена. На рис. 9.17 приведен пример функции достижимости и ее выпуклой оболочки. Решение исходной задачи отсутствует, так как для любого х Е Vx функция / не равна нулю. Усредненная задача имеет решение, которому соответствует значение целевой функции, равное " v /g(0).  [c.368]

Теорема 4.1. Пусть X и У — выпуклые множества, одно из которых компактно,, a f(x, у) — функция на XxY квазивогнуто-выпуклая и полунепрерывная сверху — полунепрерывная снизу. Тогда  [c.215]

Теорема 4.3. [279]. Пусть X(Y) выпукло и компактно, Y(X) — произвольное выпуклое множество, a f(x, у) — вогнуто-выпуклая функция на XxY. Если f(x, у) полунепрерывна сверху по х для каждого г/еУ (полунепрерывна снизу по х для каждого у Х), то имеет место (4.1).  [c.215]

В обосновании свертки различных признаков иногда ссылаются на теорему из теории векторной оптимизации2. Задача максимизации вектор-функции G(u) на " при ограничениях F(u) 0, u U, где U — замкнутое выпуклое множество в Еп, компоненты функций G(u) и F(u) вогнутые функции (причем существует такой вектор и, что oF(u) > 0 для некоторого (0 0, со(о =0), заключается в нахождении всех эффективных векторов. Допустимый вектор и называется эффективным, если не существует другого допустимого вектора, для которого  [c.124]

Часто с целью упрощения зависимость множества V (z) возможных затрат или множества U (z) возможных выпусков (или обоих множеств одновременно) от внутренних переменных z состояния элемента задается с помощью функций v = v (z) или и = и (z). Обычно в качестве таких зависимостей выступают линейные и выпуклые сепарабель-ные функции переменных z. Примеры использования в описании состояний элементов внутренних переменных  [c.49]

Смотреть страницы где упоминается термин Выпуклые множества и функции

: [c.463]    [c.62]    [c.170]    [c.22]    [c.124]    [c.136]