Заметим, что можно использовать (61) в однородной форме, пренебрегая невязками G(" [x (t )], i=0, I,. . ., k до тех пор, пока не накопится некоторая суммарная невязка (соотношение (31) должно быть очевидным образом обобщено), после чего включается восстанавливающая форма алгоритма. Можно использовать, не вводя функций G(i), условие для Ъх (t) в виде (55), что, конечно, осложняет задачу определения поправок Ы (t), Ьх (t) . Вычислительная схема решения вариационных задач, используемая автором, предполагает использование условных функциональных производных, определенных уже с учетом соотношений типа (61) (см. 21). Вычисление этих производных есть не что иное, как проектирование производных всех входящих в постановку задачи функционалов на подпространство, касательное к многообразию, определяемому условием G [x (t), и ( )]=0. Не нужно думать, что такой способ действий приведет к существенно другим функциям [Ъх (t), hi (t) . Просто в этом случае операция проектирования разлагается на последовательность двух операций сначала все проектируется на подпространство, касательное к G [x, u]=0, а затем, уже в этом подпространстве, осуществляется проектирование на пересечение подпространств, касательных к многообразиям, определяемым остальными условиями задачи. Результат от этого не меняется. В своих расчетах автор обычно не использовал ни одной из перечисленных выше форм проектирования. Дело в том, что в большинстве случаев в прикладных задачах появляется не условие в виде равенства (51), а условие в виде неравенства [c.159]
Проектирование на множество в функциональном пространстве, выделенное неравенством (51 ), является очень сложной операцией, так как касательное к нему многообразие, описываемое неравенством [c.159]
Это есть п — К соотношений между компонентами ф (0). Впрочем, чаще такие условия формулируются иначе условиями Gk [х (0) ]=0 в и-мерном пространстве выделяется (п — К)-ыерное гладкое многообразие а = 8х(0) и подлежат рассмотрению не всевозможные и-мерные векторы а, а лишь те, которые лежат в касательной к упомянутому многообразию (п — )-мерной гиперплоскости (касательной в точке х (0), разумеется). Тогда условие трансверсальности (Ва, ф(0))=0 означает, что ф (0) должен быть ортогонален этой касательной (п — А)-мерной гиперплоскости. Это и есть традиционная формулировка условий трансверсальности на левом конце траектории. [c.68]
В основу дальнейшего будет положен первый способ, хотя некоторые алгоритмы (они будут описаны) основаны на втором. Выше мы убедились, что проектирование на Q практически осуществить не удается. Однако можно построить алгоритм, основанный на проектировании не на Q, а на некоторое многообразие, которое условно можно считать касательным к и в точке и. Речь идет о следующем линеаризуем задачу в окрестности данной точки и и построим метод проекции градиента для линеаризованной задачи. Пусть wt (t) — функциональные производные входящих в задачу функционалов Ff [и ( )], z=0, 1,.. ., т. Будем искать вариацию управления Ьи ( ), решая вариационную задачу найти [c.142]
Но предположим, что кривые не касаются друг друга, и я уже настаивал в разных местах, что решение касательной есть только частный случай, а общая ситуация, будучи ситуацией многообразия , включает некасание .27 При добавлении к кривой затрат всей фактической прибыли (включая избыток над минимумом ) равновесие всегда можно отождествить с условием касания и хотя, конечно, в общем случае такая процедура незаконна, для наших целей это допустимо. Вопрос здесь заключается не в определении равновесия, так как при некасательном решении равновесие должно быть определено до проведения новой кривой, включающей общую прибыль. Таким образом, фактическую прибыль не приходится истолковывать как затраты и удается избежать множества вопросов, связанных с этим. Нас интересует только соотношение между фактическим [c.270]