Следствием этого является соответствующее малое возмущение фазовой траектории х (t) переходит sx(t)- - Ьх (t), причем 1 8ж( ) = = 0( 8ц(-) ) и Ъх(1) является решением уравнения в вариациях [c.30]
Теорема i. Если управление u(t) возмущено на множестве М малой меры р., то соответствующее возмущение фазовой траектории системы имеет оценку 8ж( ) = 0(ц) при всех t и удовлетворяет уравнению в вариациях [c.56]
Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий, причем в качестве независимого аргумента берется не управление, а фазовая траектория (метод вариаций в фазовом пространстве). При таком подходе легко учитываются фазовые ограничения, однако возникают другие трудности. Этому направлению также уделено сравнительно небольшое место, так как имеются монографии [57], [86], посвященные, в основном, именно этому подходу. [c.109]
Дальнейшее развитие численных методов было связано со стремлением учесть как ограничения u U, так и дополнительные условия F1=.. =Fm=Q (обычно они имели форму условий на правом конце траектории Ф( [х(Т)]=0). Кроме того, предметом особых усилий были ограничения в фазовом пространстве (Ф [х (t)] 0 при всех t) и ограничения общего вида (Ф [х (t), и (f)] 0). Именно связанные с учетом таких условий трудности стимулировали развитие методов вариаций в фазовом пространстве ( 15, 16 см. также [55], [56]). Эти методы настолько успешно справлялись с ограничениями в фазовом пространстве, что возникающие на этом пути серьезные трудности (отсутствие сходимости в методе локальных вариаций, медленная сходимость, ненадежные и неточные результаты, учет условий u U) в какой-то мере выпали из поля зрения. К тому же на основании спорных оценок числа операций был сделан вывод о преимуществе метода локальных вариаций перед другими итерационными методами (метод трубки, см. 16), и эта форма вариаций в фазовом пространстве стала, видимо, основным вычислительным инструментом. [c.112]
Медленная сходимость. В 15 было выяснено, что шаг h сетки в фазовом пространстве должен быть существенно меньше шага по времени т, например, А=0 (т2). Одна итерация метода локальных вариаций смещает исходную траекторию на расстояние h и для того, чтобы добраться до оптимальной траектории, следует совершить не менее О (-Л = О f- -j О (N2) таких [c.130]
Доказательство. Пусть 8ttv+I/ (. ) — вариация, удовлетворяющая (9) и (10), uv+1 ( ) — ц (- )4- ц + / (. ), и ж 4"1 ( ) — соответствующая фазовая траектория. Пусть [c.183]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]