На основе рекуррентной системы уравнений определяются полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния, иначе говоря — полные коэффициенты регрессии, измеряют роль каждой переменной в структуре. Полные коэффициенты влияния образуют матрицу коэффициентов влияния произвольно задаваемого изменения переменных (независимых приращений) на все остальные переменные [c.214]
В системе (4.24) имеется т уравнений. Любая подсистема из т - 1 векторов системы е],. .., ек у, ек+],..., ет линейно независима. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупности решений системы неравенств (4.23) достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из подсистем системы уравнений (4.24), получающейся из (4.24) удалением какого-то одного уравнения (при этом все найденные решения должны удовлетворять системе неравенств (4.23)). [c.121]
Поскольку ограничения в этой задаче образуют систему уравнений относительно переменных решения, можно было бы попытаться решить эту систему, чтобы найти значения переменных. Но переменных решения в нашей задаче 6, а независимых уравнений для их решения только 4. Можно произвольно положить значение двух каких-нибудь переменных решения равными 0 (например, Хи=0 и Х]2=0), тогда остальные переменные решения могут быть однозначно определены из системы уравнений, образованной ограничениями. Получившийся план перевозок, разумеется, необязательно будет оптимальным, но он обязательно является допустимым, поскольку удовлетворяет всем ограничениям. [c.122]
Обсуждаемый здесь рынок капитала, без сомнения, является полным, так как мы имеем дело, с одной стороны, с тремя ситуациями, а с другой — с тремя рыночными ценными бумагами, денежные потоки которых линейно независимы. Линейная независимость подтверждена, так как в противном случае определители матрицы денежных потоков в предыдущей части задачи приобрели бы нулевое значение, и мы не были бы в состоянии определить эквивалентный портфель. Но для наличия рынка, свободного от арбитража, нужно большего все цены Эрроу—Дебре должны быть положительными. Имеем ли мы дело с этим случаем или нет, нужно еще исследовать. Для этой цели рассчитаем соответствующие цены из системы уравнений [c.288]
В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений, имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых переменных. Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных. Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица А в слагаемом Ay t) приведенной выше системы уравнений). Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия это переменные с запаздыванием, т.е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные. [c.400]
Прием замены независимой переменной t одной из переменных состояния можно обобщить на тот случай, когда среди функций / (у — 1,...,п) не найдется функции для любого t Е [О, Т], отличной от нуля. В этом случае можно подыскать такую функцию у(а ), что скорость ее изменения вдоль траектории системы уравнений задачи (9.264) не равна нулю [c.399]
Рассмотрим задачу имеется /Ш-н I - мерное линейное многообразие Mw- > определяемое системой линейно независимых уравнений [c.31]
Поскольку усредненная по всем уравнениям средняя ошибка вычисления показателей в системе (1,45%) близка к той, которая получена при независимом применении уравнений (1,23%), и оба этих значения невелики, то можно считать, что выбранные зависимости правильно отображают закономерности формирования экономических показателей и механизм их взаимодействия в процессе развития народного хозяйства. Сам по себе этот факт важен для анализа в исследуемом периоде, однако наибольшее его значение состоит в возможности моделирования процесса народнохозяйственного планирования на уровне укрупненных расчетов. При этом возможно также выполнение многовариантных расчетов, когда фиксируются различные уровни одного и того же показателя и путем решения системы уравнений модели (за исключением уравнения фиксированного показателя) находятся значения остальных показателей модели. [c.27]
При выявлении (выработке) альтернатив основную роль играет качественный анализ управляемости факторов, границ их изменения и т. д. Но определенную помощь могут оказать и методы количественного анализа в первую очередь для сжатия информации об управляемых факторах и представления ее в наглядном виде, а также для выявления независимых факторов управления. Эти задачи решаются математико-стати-стическими методами современного факторного и компонентного анализа [87, с. 136—158]. Этими методами обеспечивается уменьшение числа рассматриваемых факторных показателей в 3—4 раза без существенных потерь содержательной информации. Новые показатели синтетических управляемых факторов (компоненты исходной системы факторных показателей) статистически независимы. Свойство независимости обеспечивает их применяемость в теории принятия решений, так как эта теория предполагает независимость изучаемых альтернатив действия. Применение синтетических факторов обеспечивает переход от дискретной базисной модели принятия решений к непрерывной обобщенной модели, представленной системой уравнений. [c.66]
Оценка спроса производится на основании системы уравнений, из которой могут быть получены коэффициенты. Оценка системы независимых уравнений эквивалентна оценке МНК каждого уравнения в отдельности. Хотя полученная модель линейна по основным переменным, она нелинейна по оцениваемым параметрам. В 1954 г., когда оценивалась эта модель, такая нелинейность представляла существенную проблему. Для решения этой задачи был использован простой алгоритм, - заметим, что в том случае, если известны значения параметров у, то система оказывается линейной по параметрам /3, и наоборот. Таким образом, начиная с некоторых начальных значений этих параметром можно провести итерации вплоть до сходимости получаемых решений. Стоун применил эту модель к шести группам товарам, вновь исследовав данные по Великобритании с 1920 по 1938 г. Линейная система расходов обладает свойством пропорциональности ценовой эластичности компенсированного спроса и эластичности спроса по доходу. Это свойство, обнаруженное Стоуном, говорит о том, что линейная система расходов, по-видимому, является слишком ограничительной для обобщения на более сложные модели. [c.112]
Напомним, что его крайними точками (вершинами) называют точки, не являющиеся внутренними ни для одного из лежащих в нем нетривиальных отрезков. Крайние точки множества Р тесно связаны с допустимыми базисными решениями системы (3.1), т. е. решениями, ненулевым компонентам которых соответствуют линейно независимые столбцы матрицы ее коэффициентов. Понятно, что такие решения не могут содержать более п ненулевых компонент. Если число ненулевых компонент равно п, базисное решение принято называть невырожденным. Невырожденной называется и система уравнений, все базисные решения которой не вырождены. При [c.14]
Совершенно аналогично решается и задача о распределении прибывшего в систему пополнения по нескольким номенклатурам предварительно выявляется самая дефицитная номенклатура, и для нее решается система уравнений (7.5.10). Далее независимым решением уравнений (7.5.13) определяются необходимые запасы, подсчитывается [c.225]
Из этого уравнения следует, что избыточный спрос на и-ном рынке (или фактически на любом рынке отдельного товара, который мы захотим выбрать в левой части уравнения) полностью определен как линейная функция (сумма, умноженная на минус 1) избыточного спроса на других (п— 1) рынках. Следовательно, если закон Валь-раса справедлив, то лишь (и — 1) из п уравнений в системе уравнений 4.8 являются линейно независимыми. Мы, следовательно, имеем п независимых уравнений (уравнение 4.9 плюс (л —1) из уравнения 4.8) для определения эндогенных переменных, т. е. и относительных цен (pjp,. .., pjp,. ..,pjp). [c.149]
Кроме того, существуют также чисто технические причины для соблюдения осторожности при оценке всех выводов, рассмотренных в разделах 20.1 и 20.2. Самая важная из них заключается в том, что в упомянутых исследованиях использовались такие приемы, как, например, обычная регрессия, рассчитываемая по методу наименьших квадратов, которые не учитывают, что функция спроса на деньги-это лишь одно структурное уравнение внутри целой системы одновременно решаемых уравнений. Это порождает и другие проблемы. Одна из них-это проблема идентификации. Без спецификации функций предложения денег и других уравнений системы невозможно выяснить, идентифицируема ли функция спроса на деньги. Лишь в том случае, когда другие уравнения обладают определенными свойствами, можно получить ответ, выводятся ли расчетные параметры функции спроса из данных, полученных в точке пересечения устойчивой функции подлинного спроса со смещающейся функцией предложения, или смещается сама функция спроса. Только при наличии первой ситуации можно быть уверенным, что эмпирически обнаруживаемая связь между денежным запасом и группой независимых переменных представляет собой эмпирическую функцию спроса. Другой проблемой является ошибка одновременно решаемой системы уравнений. Чтобы решить проблему идентификации, достаточно дать спецификацию других структурных уравнений, убедиться, что эта процедура проделана правильно, и исследовать свойства модели. Но даже если модель такова, что [c.648]
Общее решение исходной системы имеет вид xt — О, х2 — О, xs — 0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Alt А2, А3 линейно независимы. [c.47]
Таким образом, эконометрический метод можно отнести к комбинированным (комплексным) методам прогнозирования. Эконо-метрическая модель может состоять из одного уравнения регрессии или из нескольких взаимосвязанных уравнений. Но используются и модели, состоящие из системы независимых уравнений. Каждое уравнение решается самостоятельно, вне зависимости от других уравнений, но все они рассматриваются в рамках единой модели. [c.136]
Подобно функциям спроса (уравнение 9.2), функции предложения являются однородными нулевой степени. Более того, сумма расходов каждого участника обмена ограничена суммой его доходов от факторов производства и это условие справедливо для системы в целом. Стало быть, функции совокупного рыночного спроса и предложения не являются независимыми, они удовлетворяют тождеству [c.184]
Общая задача линейного программирования не всегда имеет решение. Из теории систем линейных уравнений известно, что система (103) имеет единственное решение, если число линейно независимых уравнений г равно п. Если в этом решении хотя бы один ж,-<С 0, то оно недопустимо если все ж,- 0, то это решение допустимо и оптимально, так как оно единственно. Если число линейно независимых уравнений г меньше п и система (103) совместна, она имеет бесчисленное множество решений. При этом (п — г) переменным можно придавать произвольные значения (свободные переменные), а остальные выразятся через них (базисные переменные). [c.179]
Экономико-математическая модель межотраслевого баланса базируется на количественной взаимосвязи между объемами выпускаемой продукции и затратами ресурсов на ее производство. В простейшем виде модель межотраслевого баланса выражается системой из и линейных уравнений, содержащей п2 + 2п зависимых и независимых переменных величин [c.94]
Различают несколько видов систем уравнений система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х [c.106]
Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например для экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений, называемых также структурными уравнениями. Так, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. [c.177]
Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, то в уравнениях присутствует свободный член а0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки. [c.179]
В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид [c.179]
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить д, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные. [c.182]
Нарушение предпосылки независимости факторов друг от друга при использовании традиционного МНК в системе одновременных уравнений приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов в ряде случаев они оказываются экономически бессмысленными. Опасность таких результатов возрастает при увеличении числа эндогенных переменных в правой части системы, ибо становится невозможным расщепить совместное влияние эндогенных переменных и видеть изолированные меры их воздействия в соответствии с предпосылками традиционного МНК. [c.199]
Система независимых уравнений. Система рекурсивных уравнений. Система [c.31]
Система независимых уравнений - система, в которой каждая зависимая [c.31]
Число уравнений системы (2.10) равно т. Вследствие линейной независимости произвольного набора из т - 1 векторов, полученного из е1,..., eJ у, eJ+1,..., ет удалением какого-то одного вектора, для отыскания фундаментальной совокупности решений системы неравенств (2.8) достаточно просмотреть ненулевые решения каждой подсистемы из т - 1 уравнений системы (2.10) При этом среди них следует отобрать векторы, удовлетворяющие системе линейных неравенств (2.8). [c.62]
Любая подсистема из т - 1 векторов системы е е2,..., ет,у является линейно независимой. Следовательно, искомая фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств (3.6) содержится среди (одномерных) ненулевых решений подсистем из т - 1 уравнений системы линейных уравнений (3.7). [c.86]
Система (4.4) содержит /и + 1 линейное уравнение, причем любая подсистема из т - 1 векторов набора е s e / /, f , У, у", У, участвующих в образовании этой системы, является линейно независимой. Поэтому для отыскания общего решения системы линейных неравенств (4.3) достаточно просмотреть (одномерные) ненулевые решения всех возможных подсистем системы (4.4), получающихся из (4.4) удалением каких либо двух ее Уравнений. При этом найденные таким способом решения должны Удовлетворять системе неравенств (4.3). [c.101]
В системе (4.10) /л уравнений. Любая подсистема из т - 1 вектора системы векторов е1,..., ек х, у, ек+],..., ет является линейно независимой. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупности решений системы линейных неравенств (4.9) достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из подсистем системы (4.10), получающейся из (4.10) удалением какого-то одного из ее уравнений (при этом найденное решение должно удовлетворять системе неравенств (4.9)). [c.107]
Как видим, информационная матрица является диагональной. Это значит, что система нормальных уравнений распадается на ряд независимых векторов-строчек и, значит, коэффициенты регрессии вычисляются независимо друг от друга. [c.167]
Что касается оценки параметров моделей, то классические методы идентификации здесь, как и в модели верхнего уровня, неприменимы, поскольку предполагают определенную избыточность информации об объекте, либо возможность многократного экспериментирования с объектом для достижения этой избыточности. В данном случае информационная ситуация прямо противоположна моделируется объект, для которого в лучшем случае известна предыстория изменения его показателей при определенном внешнем воздействии и имеется значительное количество разрозненной неорганизованной информации в виде отчетов различных организаций, постановлений, писем о нарушениях, принятых мерах и т.п. В то же время число неизвестных параметров измеряется десятками и даже сотнями. Поэтому была применена совершенно иная схема оценки, которая основана на наблюдении не всей системы в целом, а отдельных ее элементов или аналогов этих элементов, с которыми связаны отдельные неизвестные параметры или их небольшие группы. Этого можно достичь путем организации целенаправленных экспериментов, в том числе мысленных, или натурных наблюдений, которые достаточно хорошо отражают функционирование выделенных элементов и могут проводиться независимо друг от друга. Содержательный смысл искомых параметров в сочетании со структурой модели подсказывает, какие элементы следует выделять и какие эксперименты проводить. Например, для определения диагональных элементов матрицы Q (коэффициенты самовосстановления ) можно провести следующий мысленный эксперимент. Предположим, что в уравнении (3.3.1) переменные г>, и, р, w равны нулю, влияние населения и взаимное влияние ресурсов не учитывается, и RI = R для всех г, кроме г = = 1 (для определенности). Последнее может быть достигнуто подходящим выбором z. Тогда получим уравнение [c.191]
В равновесии система характеризуется только частью переменных, их называют независимыми. Остальные переменные могут быть найдены через независимые и через уравнения состояния. Эти уравнения могут быть получены как обработкой экспериментальных наблюдений над макросистемой, так и на основе модельных представлений о свойствах составляющих систему элементов. Так, в статистической физике на основе модели поведения молекул идеального газа получают уравнение, связывающее температуру, давление и обьем макроскопической системы (уравнение Клайперона-Менделеева). [c.9]
Формальное описание модели производства может иметь широкий спектр — от одного простого уравнения до полной системы уравнений. Однако все модели независимо от того, используют ли они агрегированные или микроданные, относятся ли они к множеству объектов или к временным рядам, затрагивают одни и те же проблемы описания и интерпретации к ним-то мы сейчас и обратимся. [c.178]
Вторая проблема состоит в том, что, поскольку суммарные потребительские расходы являются суммой без остатка потребительских расходов на отдельные продукты, матрица корреляции ошибок имеет ранг меньший, чем ее размерность, т.е. ее детерминант равен нулю. Таким образом, ни GLS - оценка, ни ее нелинейный аналог не существуют в данном случае, поскольку они требуют обращения матрицы ковариации ошибок. Тем не менее в системе уравнений, описывающей спрос, одно из уравнений оказывается излишним, и все его параметры могут быть рассчитаны на основе знания параметров других уравнений. Таким образом, попытка оценить одновременно все параметры во всех уравнениях, аналогична попытке оценить уравнение, включая в него одни и те же независимые переменные несколько раз. Следовательно, разумным решением будет исключить одно из уравнений и оценить получившуюся систему методом GLS или SURE. [c.119]
Мы предпочитаем оценки коэффициентов регрессии у г, которые эффективны и для которых можно проверить значимость. Оценки эффективны, если они являются наилучшими линейными несмещенными оценками (НЛНО). Термин наилучшие относится к свойству минимальности дисперсии. Оценки обобщенного МНК, будут такими оценками (НЛНО), но они требуют знания ковариационной матрицы ошибок наблюдений (2г и 2 в (2.8) и (2.17) в дополнении 2). К сожалению, нам ковариационная матрица неизвестна. Мы можем оценить элементы этой матрицы. (Ее диагональные элементы, т. е. дисперсии, оцениваются величинами sfr, обобщенный МНК для системы уравнений также требует оценивания ковариаций эти ковариации не оценивались в данном эксперименте, но они оценивались в дополнительном эксперименте.) Замена ковариационной матрицы в обобщенном методе ковариационной матрицей оценок позволяет получить несмещенные оценки 7о-> но эти оценки не лучше оценок (НЛНО). Мы не знаем, имеют ли они еще и меньшую дисперсию, чем обычные МНК-оценки (сравните с литературой)9. Мы знаем, что МНК-оценки обладают преимуществом простоты вычислений, поскольку при ортогональной матрице независимых переменных не нужна обратная матрица. Обращение матрицы с помощью ЭВМ может приводить к значительным ошибкам [c.300]
Линейно независимые решения Р ,. Fz,. . . , Fk однородной системы уравнений называются фундаментальной системой решений, если каждое решеише системы является линейной комбинацией решений F , iFz,. . ., Fk. [c.49]
Напомним, что в математической статистике для получения несмещенной оценки дисперсии случайной величины соответствующую сумму квадратов отклонений от средней делят не на число наблюдений я, а на число степеней свободы (degress of freedom) я — т, равное разности между числом независимых наблюдений случайной величины п и числом связей, ограничивающих свободу их изменения, т. е. число т уравнений, связывающих эти наблюдения. Поэтому в знаменателе выражения (3.26) стоит число степеней свободы п — 2, так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой из системы нормальных уравнений (3.5). [c.62]
Кроме того, при интерпретации коэффициентов множественной рефессии предполагается независимость факторов друг от друга, что становится невозможным при рассмотрении системы совместных уравнений. Так, в нашем примере уравнение регрессии у = —1,09 + 0,364у2 + 1,192л , показывает, что с ростом х на единицу у возрастает в среднем на 1,192 ед. при неизменном уровне значения у2. Между тем в соответствии с системой одновременных уравнений переменная у2 не может быть неизменной, ибо она в свою очередь зависит от yt. [c.199]