Перейдем к доказательству второй части, посвященной существенности пары векторов ик+х, vk+l- Согласно определению 4.2 эта пара векторов является существенной тогда и только тогда, когда вектор uk+l - vk+1 не принадлежит выпуклому конусу, порожденному векторами е е2,..., ет, и1 - и1, и2 - и2,..., ик - vk. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда неоднородная система линейных уравнений (4.19+) не имеет ни одного неотрицательного решения, v [c.119]
Обозначим через М выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е[,. .., ет,у, у". Этот конус порождается тем же самым набором, но без вектора е, так как последний можно представить, например, в виде линейной комбинации векторов е у с положительными коэффициентами. Таким образом, конус М совпадает с множеством всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций вида [c.100]
Пусть М — выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е е2,. .., ё", у, у". Вектор е можно представить в виде линейной положительной комбинации векторов ек и у, а вектор [c.106]
Достаточность. Рассмотрим выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами (4.13). Обозначим его М. По условию он — острый. Поскольку все единичные векторы е е1,..., ет входят в набор векторов, порождающих М, то R С М. Следовательно, для этого конуса справедливы соотношения (4.14).v [c.114]
Определение 4.2. Для непротиворечивого набора пар векторов (4.12) пару uk+l, vk+[ будем называть существенной, если выпуклый конус, порожденный единичными векторами е ег,..., ет вместе с векторами и - v, i = 1, 2,..., к + 1, не совпадает с выпуклым конусом, порожденным теми же самыми единичными векторами и векторами и - v, i — I, 2,..., к. [c.117]
Через U обозначим выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е е2,. .., ет, у 1, yh-,...,y . Вектор е р можно представить в виде линейной комбинации векторов ек и у р с положительными коэффициентами. Следовательно, конус М порождается набором векторов вида [c.120]
Сначала, однако, напомним определение двойственного конуса. Пусть а1, а2,..., ак — конечный набор векторов т-мерного евклидова пространства. Выпуклый конус, порожденный указанными векторами, обозначим [c.123]
Введем выпуклый конус М (без нуля), порожденный векторами [c.124]
Мажорантное отношение. Конусное отношение ум с острым выпуклым конусом М (без нуля), порожденным векторами (4.25), будем называть мажорантным отношением. Это наименование обуславливается тем, что на его основе далее будет построена оценка сверху (т. е. мажоранта) для множества выбираемых Векторов (решений). [c.125]
Множество К(М) устроено чуть сложнее. Поскольку в любом решении линейной задачи о дополнительности в каждой паре дополнительных переменных (wi, zi) no крайней мере одна из переменных обращается в нуль, то вектор свободных членов такой задачи лежит в конусе K s, порожденном векторами набора [c.13]
В качестве исходной композиции была выбрана защита, состоящая из чередующихся слоев воды и железа. Построенный в этой ситуации конус KF изображен на рис. 36, причем, так как точки и занимают угловые позиции в области U, здесь имеются только односторонние векторы. Пересечения соответствующих лучей с плоскостью F0 = 1 обозначены + , пересечения с плоскостью 8/ 0 = — 1 обозначены . Нужно еще учесть, что для разных групп векторов h пришлось использовать разные масштабы если бы масштаб был единым, разброс точек был бы еще большим. Анализ этой ситуации с очевидностью приводит к выводу, что конус KF заполняет все трехмерное пространство. На рис. 37 изображены концентрации компонент защиты, найденные в результате решения вариационной задачи. С точки зрения уменьшения веса железо выгоднее передвинуть во внутренние области защиты. Однако, так как при этом происходит увеличение генерации захватного у-излучения, в эти области приходится добавлять большие по сравнению с наружными областями количества бора. Вес одного погонного сантиметра защиты в исходной композиции равен 290 кг, для оптимального варианта 190 кг. Структура конуса достижимости KF в оптимальной ситуации выясняется с помощью рис. 38. На нем изображены следы лучей, порожденных свободными векторами h (изображены ). Эти следы расположены вблизи двух [c.273]
Эти множества, очевидно, не пусты (содержат неотрицательный ортант пространства переменых) и являются конусами. При этом К0(М) представляет собой конус, порожденный векторами-столбцами расширенной матрицы [c.13]
Из приведенных доказательств теорем, посвященных учету различного рода информации об относительной важности критериев, можно усмотреть вполне определенную схему, на основе которой получаются соответствующие формулы для пересчета нового критерия. Кратко эту схему можно описать следующим образом. С самого начала, когда еще нет никакой информации об относительной важности критериев, справедливо лишь включение R" с К, где символом А"обозначен острый выпуклый конус (неизвестного) конусного отношения >. Указанное включение выполняется благодаря аксиоме Парето. Наличие в общем случае некоторого набора информации, состоящего из к сообщений об относительной важности критериев, на геометрическом языке означает задание к векторов у1 е Rm, для которых выполнено у > 0т или, что то же самое, у е К, i = 1, 2,..., к. Далее вводится острый выпуклый конус М, порожденный векторами е1, е1,..., ет, у у2,. ..,ук. Этот конус определяет конусное отношение того же самого класса, что и неизвестное отношение предпочтения >, но более широкое, так как М с К. Конус М является конечнопорожденным, а значит многогранным. Число компонент нового векторного критерия в точности совпадает с числом (т - 1)-мерных граней конуса М, а нормальные (направленные [c.122]
Введем в рассмотрение набор единичных ортов е е2,..., е" пространства Rm s-я компонента вектора es равна единице, а все остальные — нулю, s — 1,2,..., т. Обозначим через Мвыпуклый конус (без нуля), порожденный набором линейно независимых ) векторов [c.61]
Нуля) ОАВС, порожденный единичными ортами е = ОА, е2 = ОВ и е3 = ОС. Этот конус имеет три двумерные грани, представляющие собой соответствующие части координатных плоскостей ОВС, ОАСк ОАВ. Выпуклый конус М, порожденный единичными ор-тами пространства / 3 и вектором у — это острый выпуклый ко-Иус (без нуля), имеющий уже четыре двумерные грани ОВС, О АС, [c.91]
Конус А" является произвольным острым выпуклым конусом и не содержит нуля. Что касается конуса М, то он принадлежит тому же классу, что и I, т. е. так же является острым, выпуклым и не содержит нуля. Однако в отличие от К конус М порожден конечным числом векторов, а, значит, он — конечнопорожден-ный, т. е. многогранный (см. [4, 28]). В такой постановке вопрос о полноте информации об относительной важности критериев имеет много общего с известной в выпуклом анализе задачей аппроксимации произвольного выпуклого компактного множества многогранником. Как известно, эта задача имеет положительное решение — произвольное выпуклое замкнутое ограниченное множество можно сколь угодно точно аппроксимировать (приблизить) многогранником. Поэтому есть все основания [c.133]