Построение полного факторного эксперимента и дробных реплик от него. Допустим, что мы имеем дело с двумя независимыми переменными xi и Х2 и каждую из них варьируем на двух уровнях, условно обозначаемых символами + 1 и — 1. Например, если в каком-то эксперименте варьировать два фактора — температуру и давление — так, чтобы они принимали только значение 80° или 120° и 2 или 3 сшш, то опыт, в котором температура была 120°, а давление 2 атм, в кодовом обозначении запишется так х = + 1, х%= — 1, а кодовое обозначение х = — 1, Х2 = + 1 будет указывать на то, что опыт нужно проводить при температуре 80° и давлении 3 атм. [c.212]
Если при решении той или иной задачи можно ограничиться линейным приближением, то полный факторный эксперимент типа 2 также оказывается недостаточно эффективным, особенно при большом k. При линейном росте числа независимых переменных число опытов для полного факторного эксперимента растет по показательной функции, в результате слишком много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Например, при k = 2, при линейном приближении, для проверки гипотезы адекватности используется только одна степень свободы, тогда как при k = fj — уже 57 степеней свободы. Правда, при постановке таких больших экспериментов резко снижается ошибка в определении коэффициентов регрессии, так как при факторном планировании все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов регрессии. Но это обстоятельство далеко не всегда является достаточным основанием для постановки большого числа опытов. Часто, особенно на первых этапах исследования, бывает нужно получить некоторую, хотя бы и не очень точную, информацию о процессе при минимальной затрате труда на проведение экспериментов. Если можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно резко снизить, используя для планирования так называемые дробные реплики от полного факторного эксперимента [1]. [c.215]
Исследование уравнений регрессии, полученных с помощью полного факторного эксперимента и дробных реплик. Легко видеть, что рассмотренные выше схемы — полный факторный эксперимент и дробные реплики обладают следующими свойствами [c.219]
Дробная реплика (10.1.) — часть полного факторного эксперимента, в котором используется только часть всех возможных комбинаций управляемых фак- торов при планировании экспериментов. ит [c.341]
Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2 -Р. В последнем примере мы рассмотрели дробную реплику, представляющую собой планирование типа 27-4. Полуреплика от полного факторного эксперимента 24 будет записываться как планирование типа 24 1. Такой способ записи еще полностью не характеризует свойств реплики. Дробные реплики можно получать, приравнивая основные эффекты различным эффектам взаимодействия. Например, планирование типа 24"1 можно получить, приравнивая х4 к тройному взаимодействию Xix2x3 или к одному из парных взаимодействий XjXj. Естественно, что при этом изменится система совместных оценок. [c.219]
Поскольку линейную модель создают, прежде всего, для оценки направления градиента, которое заранее неизвестно, то можно использовать критерий минимум дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации в любой точке факторного пространства при равенстве этих дисперсий на равном расстоянии от нулевой точки в любом направлении. Это эквивалентно требованию инвариантности плана при вращении системы координат относительно центра. Отсюда возникло название планов, удовлетворяющих этому критерию — ротатабельные планы. Принцип ротатабельности является важнейшим при выборе плана. Однако для случая линейной модели план можно сделать оптимальным в более широком смысле. Для этого вводят второй критерий — требование ортогональности плана. Ортогональность позволяет получить для коэффициентов уравнения оценки, независимые друг от друга, что очень важно при интерпретации. Как следствие выполнения этих требований, дисперсии для коэффициентов не только минимальны, но и равны друг другу. Все это создает идеальные условия для статистического анализа. Факторные планы удовлетворяют всем этим критериям, но так как полный факторный эксперимент содержит (при числе факторов больше трех) слишком много опытов, то используют дробные реплики. Реплики также должны удовлетворять всем критериям. Такими являются регулярные дробные реплики. ил [c.223]
Сначала мы рассмотрим общую модель с взаимодействиями, используемую в факторных планах. Дисперсионный анализ (или кратко ANOVA) применяется при обработке результатов факторного эксперимента. Показаны отношения между дисперсионным и регрессионным анализом. Обсуждаются рандомизация и разбиение на блоки в имитации. Исследуются предпосылки ANOVA, преобразование и кодирование. Следующий параграф -посвящен частному виду факторных планов, а именно таким планам, в которых все факторы имеют только по два значения. Приводится модель для таких 2fe планов вместе с анализом наблюдений. Затем идет параграф, в котором говорится только о дробных репликах от полного факторного эксперимента типа 2k, строящихся так, что вся важная информация сохраняется. Мы показываем, как можно выбрать конкретную структуру смешивания эффектов. Мы даем планы для модели только главных эффектов, планы для оценки главных эффектов в присутствии взаимодействий и планы для оценки как главных эффектов, так и двухфакторных взаимодействий (так называемые планы разрешения III, IV и V соответственно). Далее следует параграф, в котором показано, как получить независимую оценку дисперсии ошибки опыта о2 при частичном дублировании плана. Приводится метод переоценки эффектов с помощью дополнительной информации от повторения плана. Вместо дублирования наблюдений можно объединить суммы квадратов некоторых эффектов. Оба метода можно сочетать с проверкой соответствия модели. Если модель не годится, мы можем перейти к модели более высокого порядка. Показано, что планы этой главы легко достраиваются до планов более высокого порядка (это так называемые композиционные, или последовательно строящиеся, планы). Наконец, в следующем параграфе обсуждаются планы для поиска нескольких важных факторов среди многих мыслимых важных факторов, для так называемого отсеивания. Рассматривается интерпретация дробных факторных планов, когда некоторые факторы не могут быть важными. Приводятся также планы со случайным отбором факторных комбинаций и их анализ. Даются и так называемые сверхнасыщенные планы — систематические (т. е. не случайные) планы с меньшим числом наблюдений, чем эффектов. Затем мы демонстрируем несколько вариантов дробных реплик, в которых факторы объединяются в группы для уменьшения числа факторов и наблюдений. Исследуются предпосылки таких планов группового отсеивания и устанавливается, что они не ограничительны. Четыре типа планов группового отсеивания сравниваются между собой. Глава заканчивается кратким обсуждением теории статистических решений и проблемы многих откликов. Приводится литература по этим двум и по многим другим вопросам. [c.8]
Ортогональность плана гарантирует отсутствие корреляции между факторами, поэтому кажется, что все оценки коэффициентов регрессии независимы и свободны от посторонних влияний. Однако это справедливо, если описываемая область факторного пространства действительно линейна (при данной ошибке опыта) и, следовательно, все члены уравнения, отражающие кривизну, имеют нулевые коэффициенты. В действительности кривизна может существовать, например, если интервалы варьирования велики и хотя бы некоторые коэффициенты при эффектах взаимодействия окажутся отличными от нуля. Тогда может получиться, что столбцы этих взаимодействий в матрице планирования будут закоррели-рованы с некоторыми столбцами линейных эффектов. В дробном факторном эксперименте, в отличие от полного, всегда существует такая корреляция хотя бы для некоторых столбцов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента оказывается невозможно разделить коэффициент регрессии между линейным эффектом и взаимодействием. Такие оценки называются смешанными (совместными), а сам факт корреляции — смешиванием. Смешиваемость оценок —дань за сокращение числа опытов. Экспериментатор может бороться со смешиванием путем уменьшения дробности реплики, уменьшения интервалов варьирования, выбора вида модели. Экспериментатор стремится к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Число линейных эффектов, которые не смешаны в данном плане, будем называть разрешающей способностью плана. [c.224]
Смотреть страницы где упоминается термин Полный факторный эксперимент и дробные реплики
: [c.219]Смотреть главы в:
Исследование систем управления -> Полный факторный эксперимент и дробные реплики