Слово неопределенный подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным. [c.203]
Постоянную С находим из соотношения 6 = 23 + С. Получаем С — —2. Подставляя в (11.1), находим искомую первообразную функцию [c.204]
Теорема 1. Если F(i) — первообразная функции /(i), a t = = < >(х) — дифференцируемая функция, то функция /(< >( также имеет первообразную, причем [c.210]
Указание на взятие интеграла с использованием первообразной функции f(X) обычно обозначается так [c.160]
Для того чтобы найти площадь под кривой между а и 6, мы интегрируем dA/dX для значений X между а и Ь. Это делается с помощью первообразной функции Y. [c.164]
Из гл. 3 мы помним, что в процессе интегрирования находится площадь под кривой, а первый этап этого процесса — нахождение первообразной интегрируемой функции. Затем определяется значение первообразной функции в конечных точках интервала для нахождения площади. К сожалению, для множества функций не существует первообразных, хотя это не означает, что не существует и интеграла. [c.384]
Кривая общих издержек в долгосрочном периоде представлена на рис. 6.4 а. Поскольку общие издержки есть первообразная функции предельных издержек, то их график воспроизводится из кривой LM . Функция С (у) растёт замедленным темпом на том участке, где предельные издержки убывают. Общие издержки увеличиваются с ускорением при тех уровнях выпуска, где предельные издержки растут. [c.136]
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции y — f(x) на отрезке [а, Ь], если в каждой точке этого отрезка ее производная равна f(x) [c.149]
Теорема о существовании первообразной. Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину. [c.149]
Общее выражение F(x) + для всех первообразных функций от данной функции / (х) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается [c.149]
Обозначим первообразную по t Ft(f) и ограничим вид функций [c.58]
Определенный и неопределенный И. связаны тем, что если существует первообразная F(x) функции Дх), то [c.126]
Тогда F(x] называется первообразной для функции /(ж). Функция Зж2 есть производная для функции ж3 [c.201]
Поэтому по определению функция ж3 является первообразной для функции 3 ж2. [c.201]
По определению функция ж является первообразной для функции 4 ж3. [c.201]
Первообразной для функции 5 ж4 служит функция ж5, так как [c.201]
Таким образом, функция Зж2 имеет бесчисленное множество первообразных. [c.202]
Остается вопрос, имеет ли функция /(ж) другие первообразные, которые не описываются выражением вида F(x) + С. Ответ на него дает следующая [c.202]
Теорема. Если F (x] и F2(x — первообразные для функции /(ж) в некотором промежутке X, то найдется такое число С, что справедливо равенство [c.202]
Из данной теоремы следует, что если F(x) — первообразная для функции /(ж), то выражение вида F(x) + С, где С — произвольное число, задает все возможные первообразные для /(ж). [c.202]
Определение. Наиболее общий вид первообразной для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается j(x]dx. Таким образом [c.203]
Из множества первообразных данной функции f(x) только одна может принимать данное значение 6 при данном значении аргумента х = а. Если известен интеграл [c.203]
V Пример. Найти ту первообразную от функции Зж2, которая принимает значение 6 при х = 2. [c.204]
Задача. Найти ту первообразную от функции -х, которая [c.204]
В примерах 3-5 была использована линейная подстановка t = = k х + 6, где k (k 0) и 6 — некоторые числа. Применим эту подстановку к общему интегралу вида f /( х + b) dx. Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции /(ж). Тогда [c.212]
Теорема 2. Пусть F(x] — некоторая первообразная для функции /(ж). Тогда [c.213]
Следствие. Для любой непрерывной функции /(ж) существует первообразная. [c.238]
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция у — /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и F(x) — произвольная первообразная для /(ж) на [а, Ь]. Тогда определенный интеграл от функции /(ж) на [а, 6] равен разности значений первообразной F(x] для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е. [c.238]
П Пусть. Р(ж) — некоторая первообразная для функции /(ж). [c.238]
Функция Ф(ж) = [f(t]dt также является первообразной для [c.238]
П Пусть F(x) — первообразная для функции /(ж) на отрезке [а, 6], т. е. F (x) = f(x) для всех х [а, 6], тогда [c.241]
П Поскольку (и v = и v + и г , функция и v является первообразной для функции и v + и v. Тогда по формуле Ньютона Лейбница и свойству 2 получаем [c.243]
Поскольку первообразной от постоянной величины 3 , является линейная функция 3 k t + С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию y(i] — 3 k t + С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому [c.358]
Первичные ресурсы 260, 384 Первичный профицит бюджета 294 Первичный учет 317 Первичный фактор производства 374 Первообразная функции 125 Первый ортант 153 Переговорное множество 260 Передаточная функция системы 241 Передача информации 261 Перекрестные данные 261 Перекрестный коэффициент эластичности [c.481]
Если бы такая последовательность существовала, функцию у (t) следовало бы считать полезной и с прикладной точки зрения. С чисто математической точки зрения дефектом этой функции у (t) (канторовой лестницы) является что, то она не является первообразной для своей производной ). [c.92]