Определенный и неопределенный И. связаны тем, что если существует первообразная F(x) функции Дх), то [c.126]
Тогда F(x] называется первообразной для функции /(ж). Функция Зж2 есть производная для функции ж3 [c.201]
Поэтому по определению функция ж3 является первообразной для функции 3 ж2. [c.201]
По определению функция ж является первообразной для функции 4 ж3. [c.201]
Первообразной для функции 5 ж4 служит функция ж5, так как [c.201]
Поэтому функция 3 ж2 имеет не одну первообразную. По определению функции F(x) = ж3 и FI(X) = ж3 + 1 являются ее первообразными. Функция FZ(X) = ж3 + 2 также является первообразной для 3 ж2. Более того, любая функция вида [c.202]
Таким образом, функция Зж2 имеет бесчисленное множество первообразных. [c.202]
Аналогично, в общем случае, если F(x) — некоторая первообразная для /(ж), то поскольку [c.202]
Остается вопрос, имеет ли функция /(ж) другие первообразные, которые не описываются выражением вида F(x) + С. Ответ на него дает следующая [c.202]
Теорема. Если F (x] и F2(x — первообразные для функции /(ж) в некотором промежутке X, то найдется такое число С, что справедливо равенство [c.202]
Из данной теоремы следует, что если F(x) — первообразная для функции /(ж), то выражение вида F(x) + С, где С — произвольное число, задает все возможные первообразные для /(ж). [c.202]
Определение. Наиболее общий вид первообразной для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается j(x]dx. Таким образом [c.203]
Слово неопределенный подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным. [c.203]
Из множества первообразных данной функции f(x) только одна может принимать данное значение 6 при данном значении аргумента х = а. Если известен интеграл [c.203]
V Пример. Найти ту первообразную от функции Зж2, которая принимает значение 6 при х = 2. [c.204]
Постоянную С находим из соотношения 6 = 23 + С. Получаем С — —2. Подставляя в (11.1), находим искомую первообразную функцию [c.204]
Задача. Найти ту первообразную от функции -х, которая [c.204]
Теорема 1. Если F(i) — первообразная функции /(i), a t = = < >(х) — дифференцируемая функция, то функция /(< >( также имеет первообразную, причем [c.210]
В примерах 3-5 была использована линейная подстановка t = = k х + 6, где k (k 0) и 6 — некоторые числа. Применим эту подстановку к общему интегралу вида f /( х + b) dx. Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции /(ж). Тогда [c.212]
Теорема 2. Пусть F(x] — некоторая первообразная для функции /(ж). Тогда [c.213]
Следствие. Для любой непрерывной функции /(ж) существует первообразная. [c.238]
Действительно, в качестве такой первообразной всегда можно предъявить определенный интеграл с переменным верхним пределом Ф(ж), поскольку Ф (ж) = /(ж). [c.238]
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция у — /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и F(x) — произвольная первообразная для /(ж) на [а, Ь]. Тогда определенный интеграл от функции /(ж) на [а, 6] равен разности значений первообразной F(x] для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е. [c.238]
П Пусть. Р(ж) — некоторая первообразная для функции /(ж). [c.238]
Функция Ф(ж) = [f(t]dt также является первообразной для [c.238]
П Пусть F(x) — первообразная для функции /(ж) на отрезке [а, 6], т. е. F (x) = f(x) для всех х [а, 6], тогда [c.241]
П Поскольку (и v = и v + и г , функция и v является первообразной для функции и v + и v. Тогда по формуле Ньютона Лейбница и свойству 2 получаем [c.243]
Поскольку первообразной от постоянной величины 3 , является линейная функция 3 k t + С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию y(i] — 3 k t + С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому [c.358]
Для нахождения площади под кривой мы можем использовать то, что только что узнали о неопределенных интегралах. Однако перед этим мы должны ввести новую концепцию — концепцию первообразной. [c.159]
Первообразная — это функция F, первая производная которой равна функции / Таким образом, если IX — это первая производная от Х , то Х является первообразной от 2Х. Выше мы уже рассмотрели, как взять неопределенный интеграл. Можно воспользоваться этим при нахождении первообразной, поскольку неопределенный интеграл и является первообразной этой функции. Таким образом, первообразная 2Х будет [c.159]
Довольно скоро понятие первообразной понадобится нам, а пока мы ненадолго оставим эту тему. [c.159]
Первичные ресурсы 260, 384 Первичный профицит бюджета 294 Первичный учет 317 Первичный фактор производства 374 Первообразная функции 125 Первый ортант 153 Переговорное множество 260 Передаточная функция системы 241 Передача информации 261 Перекрестные данные 261 Перекрестный коэффициент эластичности [c.481]
Если бы такая последовательность существовала, функцию у (t) следовало бы считать полезной и с прикладной точки зрения. С чисто математической точки зрения дефектом этой функции у (t) (канторовой лестницы) является что, то она не является первообразной для своей производной ). [c.92]
Эта постановка уже в достаточно четкой форме предполагает, что х (t) должна быть первообразной для и (t). А если добавить еще условие и (t) s U+, то появление столь странных объектов, как канторова лестница, оказывается полностью исключенным. [c.92]
Теперь рассмотрим площадь многоугольника X bdXi. Она равна разности площадей двух треугольников QdXi—QbX. Мы можем рассчитать площадь многоугольника, вычислив площадь каждого из треугольников и вычитая меньшую из большей. Однако существует более легкий способ, который также применим к случаям, когда график функции не является прямой. Этот способ использует концепцию первообразной, рассмотренную выше. Как уже выше сказано, график прямой линии описан функцией Y = X и независимо от значения X, площадь двух треугольников выражена функцией Х2/2. При этом Х2/2 является первообразной от X. Так как X — Л , мы можем показать это следующим образом [c.160]