Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собстве зн н ым значениям, ортогональны.. [c.68]
Как будет видно дальше, из теоремы 4, собственные значения вещественной симметрической матрицы будут вещественными. Однако в общем случае собственные значения (и собственные векторы) могут быть комплексными. В настоящей книге комплексные числа появляются только в связи с собственными значениями и собственными векторами несимметрических матриц (гл. 8). Поэтому подробное изучение комплексных матриц опускается. Все матрицы и векторы в дальнейшем будут предполагаться вещественными, за исключением тех случаев, когда специально оговорено, что они комплексные. [c.34]
Доказательство. Пусть Л есть собственное значение вещественной симметрической матрицы Л, а х = и + iv — соответствующий собственный вектор. Тогда [c.35]
Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п. Тогда существуют ортогональная матрица S порядка п (т.е. Sf S = /п), столбцы которой являются собственными векторами Л, и диагональная матрица Л, диагональные элементы которой являются собственными значениями Л, такие что [c.38]
Поскольку А симметрическая, М тоже симметрическая. Но так как М еще и треугольная, М обязана быть диагональной. Столбцы S при этом будут собственными векторами А и, поскольку диагональные элементы М вещественны, S также может быть выбрана вещественной. П [c.39]
Пусть А — симметрическая матрица порядка п (п 2) ранга г (А) = п — 1. Пусть и — собственный вектор Л, соответствующий (простому) нулевому собственному значению, т. е. Аи = 0. Тогда [c.74]
Матрица А не симметрическая, и ее собственные значения равны 1 г б. Поскольку оба собственных значения комплексны, то должны быть комплексны и соответствующие собственные векторы. Нетрудно показать, что их можно выбрать в виде [c.207]
Мы знаем, однако (из теоремы 1.4), что если А — симметрическая вещественная матрица, то ее собственные значения вещественные и собственные векторы также можно выбрать вещественными. Поскольку работать с таким случаем несколько удобнее, он и рассматривается вначале. [c.208]
Итак, пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка n, a UQ — (нормированный) собственный вектор, соответствующий собственному значению АО, так что тройка (Xg, UQ, АО) удовлетворяет условиям [c.208]
Одно из применений дифференциала собственного вектора du — вывод второго дифференциала собственного значения, d2A. Рассмотрим вначале случай, когда XQ — вещественная симметрическая матрица. [c.218]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка n, a UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий простому собственному значению АО матрицы XQ. Тогда, как известно из 8.8, для каждой матрицы X из окрестности N(XQ] матрицы XQ существуют и единственны число А = А(Х) и вектор и = и(Х), такие что [c.235]
Наконец, если АО есть простое собственное значение вещественной симметрической матрицы XQ порядка n, a UQ — соответствующий собственный вектор, то существует дважды дифференцируемая собственная функция Л такая, что X(XQ) = АО (см. теорему 8.7). Дифференциал второго порядка в точке XQ находится по теореме 8.10, а именно [c.250]
Симметрическая матрица А порядка п имеет собственные значения Аь Я2,. .., Хп, не обязательно различные между собой. Этим значениям соответствует система ортогональных собственных векторов х1( х2,. .., х , таких, что [c.107]
Обратите внимание на то, что х хг = 0, т. е. собственные векторы симметрической матрицы ортогональны1. [c.107]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что [c.209]
Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный резу ч ьтат алгебры матриц- для симметрических матриц (1 2.3) все и соб ственных значений являются деиствнге [ьными числами. [c.26]
Вообще мы будем иметь дело лишь с действительными симметрическими матрицами. Эти два свойства — существование действительных корней и ортогональность собственных векторов — имеют место и в общем случае действительной симметрической матрицы 2 порядка п. Более того, если характеристический корень Я имеет кратность k (т. е. повторяется k раз), то имеется k соответствующих ему ортогональных собственных векторов3. [c.107]
В силу предположений, принятых в линейной модели, матрица Х Х) имеет порядок k x k, она симметрическая и положительно оп->еделенная. Следовательно, у нее k положительных собственных зна- ений Ях,. .., Яй. Пусть V = [Vj v2. .. vft] — -матрица, образованная юбственными векторами, где уг обозначает вектор-столбец, соответ-твующий собственному значению Kt, так что [c.166]