Доказательство. В силу теоремы 2 достаточно рассмотреть случай га = 1. Векторная функция / S — > Rm сводится в таком случае к вещественной функции ф S — > R. [c.128]
Есть ряд модифицированных вариантов теоремы о среднем для векторных функций, однако нам понадобится только непосредственное обобщение одномерного случая на случай вещественных функций двух и более переменных. [c.133]
Рассмотрим векторную функцию f(i) = ( os t, sin ), t G R. Показать, что /(2тг) — /(0) = 0 и D/(t) = 1 для всех t. Сделать вывод о том, что теорема о среднем значении не выполняется для векторных функций. [c.138]
Обобщение теоремы 4 на векторные функции весьма просто. Теорема 5 [c.149]
Для того чтобы установить вторую теорему об идентификации для векторных функций, частным случаем которой является теорема 6, нам потребуется еще одно обозначение. [c.149]
Следующая теорема обобщает соотношение (3) на случай векторных функций нескольких переменных. [c.153]
Будем искать матрицу Якоби функции не путем вычисления каждой частной производной, а с помощью определения дифференциала. Для дифференцируемой векторной функции /(ж), согласно первой теореме об идентификации (теорема 5.6),существует взаимно-однозначное соответствие между дифференциалом функции of / и ее матрицей Якоби. А именно из равенства [c.228]
Для задач, в которых полное изменение векторной функции координат системы выступает в качестве минимизируемого функционала, необходимые условия оптимальности имеют тот же вид, что и в приведенной теореме, поскольку минимизируемый функционал и ограничение входят в уравнение Эйлера одинаково [4]. [c.282]
Основным инструментом в этой главе будет первая теорема об идентификации (теорема 5.11), которая говорит, как получить производную (матрицу Якоби) из дифференциала. На основании этой теоремы мы действуем следующим образом (i) вычисляем дифференциал матричной функции F(X), (ii) представляем в векторной форме, получая соотношение d ve F(X) = A(X)d ve X, и (iii) заключаем, что DF(X] = A(X). Простота и изящность этого подхода будет продемонстрирована на многих примерах. [c.223]
При п= выпуклость S(,bi) следует из теоремы Ляпунова о векторных мерах [189] таким же образом, например, как в [137]. Для справедливости утверждения при п=1 нет необходимости в допущении о выпуклости г 50 и — i >i. При п>1 обеспечение выпуклости 5( п(сои 1)) требует некоторых предположений о структуре целевой функции и ограничений задачи, например выпуклости tyo и — 1 )ь, k 1,. . . , п. [c.209]
Теорема 3.2. При условиях (3.8) относительно последовательностей ап и сп и допущениях (а) — (s) относительно функции f(x) векторного аргумента х последовательность (3.9) сходится с вероятностью единица к я=0. [c.353]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Таким образом, выполнены условия теоремы о неявной функции (теорема А.З из приложения к гл. 7). Значит, существуют окрестность N(X ) С Rnxn матрицы XQ, единственная вещественная функция А N(XQ) — > R и единственная (с точностью до знака) векторная функция и N(X0) — > Rn, такие что [c.210]
Вторая теорема об идентификации для векторных функций (теорема 6.7) позволяет найти матрицу Гессе векторной функции /(ж) размера т х 1. Если BI, В<2,. . . , Вт — квадратные матрицы и [c.246]