Достаточные условия существования экстремума 149 [c.149]
Максимум в задаче безусловной оптимизации можно искать, например, применив сначала необходимое, а затем — достаточное условие существования экстремума. Согласно необходимому условию производная от функции по аргументу должна быть равна нулю. После несложных преобразований находим, что это условие выполняется для стационарной точки vl = 3,5. Достаточное условие для задачи на максимум состоит в отрицательности второй производной от функции по ее аргументу в стационарной точке. Это условие также выполняется. Следовательно, решением задачи (3.15), задающим компромиссное решение Нэша в биматричной игре с угрозами, будут значения v 3,5 v2= 1,5. Точка (ц,г>2) = (1,5 3,5) на эффективной границе области допустимых решений на рис. 3.7 отмечена кружком. [c.256]
Таким образом, экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума. [c.63]
Пример 1. Производная функции fix) = х2 в точке Лц=0 обращается в нуль и, как видно из рис. 4. За, в этой точке данная функция имеет экстремум (минимум). Теорема Ферма дает лишь необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. [c.63]
Замечание. Теорема Вейерштрасса — это теорема существования. По сути, она гласит, что определенных условий достаточно, чтобы обеспечить существование экстремумов. Однако эта теорема никак не говорит, как найти эти экстремумы. [c.162]
Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество возможных монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса задача максимизации прибыли монополиста на у > 0, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку. [c.476]