Отметим в заключение, что вычисление оптимального момента остановки в заданном классе областей представляет, на наш взгляд и самостоятельный интерес. Для многомерных диффузионных процессов оптимальная область продолжения наблюдений может иметь очень сложную структуру, поэтому имеет смысл ограничиться более простыми областями, а решение задач (7.3)-(7.4) и (7.5) при этом искать численными методами. [c.76]
Седьмая глава (математическое приложение) посвящено описанию нового подхода к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. Этот подход основан на использовании связи между граничными задачами для диффузионных процессов и задачей Дирихле для уравнений в частных производных эллиптического типа. Решение задачи Дирихле рассматривается как функционал, зависящий от области продолжения наблюдений. Оптимизация этого функционала на множестве областей продолжения наблюдений проводится вариационными методами. Описанный подход применяется к задаче оптимальной остановки двумерного геометрического броуновского движения с функционалом, представимом в виде математического ожидания однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от указанного процесса в момент остановки. К задачам такого типа и сводится исследование задачи выбора оптимального момента инвестирования. [c.14]
Построение и исследование модели поведения инвестора дало импульс к развитию новых математических подходов к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. В частности, нами был предложен новый вариационный подход нахождения оптимальной области продолжения наблюдений, основанный на представлении функционала от значения многомерного диффузионного процесса на границе области в виде решения задачи Дирихле. С помощью этого подхода удалось полностью решить задачу оптимальной остановки для однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от двумерного геометрического броуновского движения. Это позволило провести детальный анализ модели инвестора. [c.87]
Нами предлагается новый подход к нахождению оптимального момента остановки для многомерного диффузионного процесса. На его основе будет, в частности, выведена явная формула для оптимального момента в случае двумерного геометрического броуновского движения и однородного функционала26. [c.73]