Рассматриваемая сейчас задача об оптимальной остановке сформулирована не в общем случае (см. далее п. 4), в котором допускается N — оо (тогда ЯК ° - это класс всех конечных моментов остановки т п), а лишь для случая конечного "горизонта" N. Основная причина состоит в том, что этот случай разбирается сравнительно элементарно и, в то же самое время, в этом случае "работает" метод индукции назад, являющийся одним из основных приемов отыскания и цен V , и соответствующих оптимальных моментов остановки. [c.171]
Р(т < оо) — 1, то т является оптимальным моментом остановки [c.176]
Из результатов приведенной теоремы вытекает следующая интерпретация структуры оптимальных моментов остановки в классе 9Л = г 0 < т < N для фиксированного N < оо. [c.178]
Отсюда непосредственно следует, что в качестве оптимального момента остановки в задаче [c.274]
Рассмотрение опционов с моментами исполнения из множества 9Яд°, а не из ЗЯд с некоторым конечным Nt может показаться малоинтересным с практической точки зрения. Однако следует иметь в виду, что наличие дисконтирующего фактора 0 < /3 < 1 не позволяет соответствующим оптимальным моментам остановки быть "слишком большими" В то же самое время, аналитическое решение задач типа (20) много проще, нежели решение задач типа (2) с конечным N, и при достаточно больших N по функции V (х) можно судить, по крайней мере, приближенно и о значениях функций V (х). [c.278]
Согласно той же самой теореме, момент т будет оптимальным моментом остановки для задачи (16), лишь бы только Рх(т < оо) = 1,х Е. Отложив пока рассмотрение этого свойства момента т, обратимся к отысканию значения х и функции V (х). [c.293]
Для отыскания цены V (x) и соответствующего оптимального момента остановки воспользуемся "мартингальным" приемом из [32], использованным в предшествующих параграфах (см., например, "второе доказательство" в п. 6, 2а). Будем при этом полагать начальное состояние SQ — 1 и считать, что цены исполнения К и К2 таковы, что К < 1 < К%. [c.453]
Весьма замечательно, однако, что методы "замены меры" позволяют эти "двумерные" задачи свести к некоторым новым, являющимся уже "одномерными" что позволяет найти явные выражения и для Uf(x) (= Uf(x)), и для оптимальных моментов остановки. [c.456]
Здесь фо = 1 и, как установлено выше, момент т = inf t t 2 "Ф является оптимальным моментом остановки в том смысле, что [c.465]
Из изложения в предшествующем параграфе следует, что для описания структуры оптимального момента остановки TQ и областей продолжения и остановки наблюдений надо уметь находить функцию V — V (t, x) или, равносильно, функцию Y (t,x) = V (T — t,x). [c.470]
А именно, если G есть оптимальная область в (7.5), то оптимальный момент остановки в классе M.(Q] совпадает с моментом первого выхода процесса из этой области r (Q] = тС. [c.76]
Если при этом класс областей Q выбран "удачно", то удается доказать, что момент T (Q] будет и оптимальным моментом остановки в задаче (7.2) по всем марковским моментам М.. В следующем разделе такой подход будет реализован для двумерного геометрического броуновского движения t и однородной функции д. [c.76]
Отметим в заключение, что вычисление оптимального момента остановки в заданном классе областей представляет, на наш взгляд и самостоятельный интерес. Для многомерных диффузионных процессов оптимальная область продолжения наблюдений может иметь очень сложную структуру, поэтому имеет смысл ограничиться более простыми областями, а решение задач (7.3)-(7.4) и (7.5) при этом искать численными методами. [c.76]
Оказывается, что при некоторых дополнительных условиях множество Gp определяет и оптимальный момент остановки для задачи (7.2) в классе всех марковских моментов М.. [c.78]
Тогда т = min t > 0 % > р ,1 является оптимальным моментом остановки в задаче (7.2) по всем марковским моментам М, а соответствующим оптимальным значением функционала в (7.2), как функции от начальных значений (х1,х2 процесса (7.6) будет функция (7.12). [c.78]
Тогда т = TD является оптимальным моментом остановки в задаче (7.2) по всем марковским моментам, а Ф(ж) - соответствующим оптимальным значением функционала. [c.82]
Алгоритм поиска оптимальной цены продавцом-монополистом является в этом тренажере основным. Продавец начинает свою работу с некоторой исходной цены, постепенно повышая ее, и одновременно отслеживая получаемую прибыль. При наличии эластичности спроса по цене повышение последней приводит к снижению спроса, что отражается на доходе продавца (произведение объема на цену реализованной продукции). В условиях увеличения темпа падения спроса по сравнению с темпом роста цены (что возможно при значительных величинах эластичности) даже при сильном росте цены прибыль начинает падать. В таком случае производится переключение цены реализации продукции с ее увеличения на уменьшение. Уменьшение цены будет происходить до момента остановки падения дохода, затем снова начинается ее рост. В результате реализуется колебательный режим поиска оптимальной цены для максимизации прибыли. Однако точное значение оптимальной цены таким путем не может быть найдено. Цена реализации непрерывно колеблется около оптимальной. В этом случае возникает задача уменьшения амплитуды колебания, которая решается с изменением характеристик ценообразования в зависимости от времени. Структурная схема модели поиска оптимальной цены приведена на рис. 9.1 [c.163]
Рассматриваемая задача об оптимальной остановке для марковского процесса X состоит в отыскании функции s(x), оптимальных моментов т (т.е. таких, что s(x) = Ezg(xr ), х Е), или е-оптимальных моментов т (т.е. таких, что s(x) — Exg(XT ), х Е), если таковые существуют. [c.177]
Замечание. Полезно еще раз подчеркнуть, что решение задачи об оптимальной остановке (26) одновременно дает и значение рациональной стоимости (/jy Р), и определяет рациональный момент т предъявления покупателем опциона к исполнению. При этом, как правило, нельзя по отдельности найти (/jv Р) или т, и находятся они одновременно таз решения задачи (26). [c.195]
Понятно, что если покупатель прекращает действие контракта в момент а, когда Х% > fff, то это дает продавцу чистый доход X — fa при выполнении им в то же самое время контрактного условия о выплате покупателю Д.. Поэтому покупателю следовало бы выбирать момент а так, чтобы X — /ст. Такой момент действительно существует, и, как следует из теоремы 4, 2с, им является момент т , получающийся в результате решения задачи об оптимальной остановке [c.271]
О справедливости формулы (1) уже говорилось в 3а. Оптимальность момента т%, следует из общей теории оптимальных правил остановки (см., например, [441 гл. III, 3]). Относительно свойств гладкости функции Y (t,x) и вывода уравнения (8) см., например, [247], [363] и [467]. [c.476]
В главе 3 излагается общая модель поведения инвестора в российской налоговой среде с учетом факторов риска и неопределенности. Модель включает в себя описание структуры денежных потоков в непрерывном времени, основные гипотезы о поведении инвестора, сведение задачи выбора оптимального момента инвестирования к задаче оптимальной остановки некоторого случайного процесса. [c.12]
В этом разделе будет описан математический аппарат, используемый для исследования предложенной модели. Речь будет идти о задаче оптимальной остановки многомерного случайного процесса, возникающей при определении оптимального момента инвестирования (3.11). [c.73]
Основная специфика предсказания временных рядов лежит в области предобработки данных. Процедура обучения отдельных нейросетей стандартена. Как всегда, имеющиеся примеры разбиваются на три выборки обучающая, валидационная и тестовая. Первая используется для обучения, вторая - для выбора оптимальной архитектуры сети и/или для выбора момента остановки обучения. Наконец, третья, которая вообще не использовалась в обучении, служит для контроля качества прогноза обученной нейросети. [c.153]
Если /3 = 1, то Qg(x) = д(х) дляд(х) = х при всех х Еив качестве оптимального момента остановки можно взять момент т = 0. [c.179]
Таким образом, в случае /3 = 1 и д(х) = (х — 1)+ функция V(x) = sup ExaTg(ST) — х и оптимальный момент остановки (в классе ЗЯд°) [c.280]
Следует также подчеркнуть, что хотя теория оптимальных правил остановки для случаянепрерывного времени (см., например, монографию [441]) дает общие методы решения задач, в которых надо отыскивать оптимальный момент остановки, тем не менее, не так уж много известно конкретных задач (в том числе и связанных с опционами), в которых удается дать точные аналитические выражения для пограничных функций х = x (t), О t < Т, для цен и т.п. [c.467]
Седьмая глава (математическое приложение) посвящено описанию нового подхода к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. Этот подход основан на использовании связи между граничными задачами для диффузионных процессов и задачей Дирихле для уравнений в частных производных эллиптического типа. Решение задачи Дирихле рассматривается как функционал, зависящий от области продолжения наблюдений. Оптимизация этого функционала на множестве областей продолжения наблюдений проводится вариационными методами. Описанный подход применяется к задаче оптимальной остановки двумерного геометрического броуновского движения с функционалом, представимом в виде математического ожидания однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от указанного процесса в момент остановки. К задачам такого типа и сводится исследование задачи выбора оптимального момента инвестирования. [c.14]
Нами предлагается новый подход к нахождению оптимального момента остановки для многомерного диффузионного процесса. На его основе будет, в частности, выведена явная формула для оптимального момента в случае двумерного геометрического броуновского движения и однородного функционала26. [c.73]
Для доказательства будут использованы достаточные условия оптимальности момента остановки, основанные на методе вариационных неравенств (см., например, Бенсусан, Лионе, 1987 Oksendal, 1998). [c.78]
Следствие. Пусть g(xi,xz = х% — xi, выполнено условие (7.8) и р > max(ai, 0 2). Тогда оптимальным моментом остановки в задаче (7.2) по всем марковским моментамМ. является т = min t > 0 % > р , где р = /3/(/3 — 1), а /3 - положительный корень квадратного уравнения [c.79]
Формула для оптимального момента остановки в случае разности двух геометрических броуновских движений была впервые приведена (из эвристических соображений), по-видимому, в M Donald and Siegel (1986). Строгое доказательство оптимальности, а также условия, при которых эта формула справедлива, появились позже (Ни and Oksendal, 1998). [c.79]
Для доказательства оптимальности момента остановки т по всем марковским моментам М. мы будем использовать "верификационную теорему", основанную на методе вариационных неравенств (см. Бенсусан, Лионе, 1987 Oksendal, 1998). Приведем ее в необходимом для нас виде. [c.82]
Таким образом, выполняются все условия верификационной теоремы и, значит, TD = т является оптимальным моментом остановки в (7.2) по классу всех марковских моментов М.. [c.84]
В методе ранней остановки обучение прекращается в момент, когда сложность сети достигнет оптимального значения. Этот момент оценивается по поведению во времени ошибки валмдации. Рисунок 8 дает качественное представление об этой методике. [c.67]
Частным случаем таких задач является задача об оптимальной остановке некоторой стохастической последовательности / = (fn)n N-> рассмотрения которой целесообразно начать изложение круга вопросов относительно "супермартингальных характеризаций" в оптимизационных проблемах. Выделение этого случая отдельно представляется целесообразным также в связи с рассматриваемыми далееошшонами Американского типа (в которых покупатель опциона имеет право выбора момента исполнения, что и может рассматриваться здесь как "оптимизационный элемент"), а также в связи с тем, что на этом случае четко прослеживается то, что класс объектов, по которому берется ess sup, должен быть "достаточно богатым". [c.170]
Теорема 4. Всякий момент т, являющийся решением задачи об оптимальной остановке (26), есть рациональный момент. При этом момент т, определенный в (27), принадлежит fHjj и в этом классе является минимальным т ."f (Р-п.н.) для всякого т 6 9 . [c.195]
Смотреть страницы где упоминается термин Момент остановки оптимальный
: [c.171] [c.174] [c.180] [c.183] [c.283] [c.440] [c.455] [c.478] [c.479] [c.16] [c.78] [c.469]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.0 ]