Матрицу, МП-обратную для матрицы Л, будем обозначать Л+. Упражнения [c.59]
Чему равна МП-обратная матрица для невырожденной матрицы [c.59]
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ МП-ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ [c.59]
Для любой матрицы Л МП-обратная матрица Л+ существует и единственна. [c.59]
Следовательно, В — единственная МП-обратная матрица для А. [c.60]
Мы доказали что для каждой матрицы А существует одна и только одна МП-обратная матрица Л+ установим теперь некоторые свойства последней. [c.60]
Другое доказательство единственности МП-обращения.) Пусть В и С — две МП-обратные матрицы для матрицы А. Обозначим Z = С — В. Показать, что [c.67]
Пусть А = А и Dnv(A) = 0. Тогда ve А = 0, а значит, v(A) = 0. Поскольку симметричность А не накладывает ограничений на v(A), столбцы Dn линейно независимы, следовательно, Dn имеет полный ранг по столбцам п(п + 1), D nDn не вырождена, а МП-обратная матрица для Dn равна [c.80]
Следующим шагом получим МП-обратную матрицу для Z. Теорема 21 МП-обратная матрица для Z имеет вид [c.91]
В частном случае со (В) С со (Л) соотношения для МП-обратных матриц имеют вид [c.92]
В этой главе X всегда будет обозначать матрицу (обычно квадратную) вещественных переменных, a Z — матрицу комплексных переменных. Мы рассмотрим дифференциалы скалярных функций X (собственные значения, определитель), векторных функций X (собственные векторы), а также матричных функций X (обратная, МП-обратная, сопряженная матрицы). [c.196]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ МП-ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ [c.202]
Дифференциал МП-обратной матрицы 203 [c.203]
Установив существование дифференцируемых МП-обратных матриц, естественно поинтересоваться соотношением между dF+ и dF. Найдем сначала dF+F и dFF+, а потом используем полученные результаты для вывода dF+. [c.203]
Матрица X размера п х т называется МП-обратной для вещественной т х п матрицы Л, если [c.59]
Пусть S — открытое подмножество Rnxgr, a F S — > Rmxp — матричная функция, определенная и k 1 раз (непрерывно) дифференцируемая на S. Если ранг r(F(X)) постоянен на , то МП-обратная матрица F+ S — > Rpxm также k раз непрерывно дифференцируема на S и [c.204]
Замечание. Кажется естественным отнормировать и как v u = 1 вместо UQU = 1. Однако такая номировка не порождает МП-обратную матрицу в (4). Другая возможная нормировка и и = 1 также оказывается неудобной, как показывает доказательство. [c.213]
Лемма 1 утверждает, что если F S —> Rmxp — матричная функция, определенная и непрерывная на S С ИПХ( , то F+ 5 —> Rpxm непрерывна на 5 тогда и только тогда, когда ранг r(F(X)) постоянен на S. Чтобы МП-обратная матричная функция F+ была дифференцируема в XQ , она должна быть непрерывна в XQ, а значит, иметь постоянный ранг в некоторой окрестности N(XQ) матрицы XQ. Если ранг r(F(X)) постоянен в 7V(X0), то из диффе-ренцируемости F в точке XQ следует дифференцируемость F+ в XQ. Таким образом, получаем следующую лемму. [c.203]