Функция ф дифференцируема только в точке (0, 0). Частная производная DI равна нулю в начале координат и в любой точке из R2, где у иррационально в других точках она не определена. Аналогично, D20 равна нулю в начале координат, а также в каждой точке из R2, где х иррационально в других точках она не определена. Следовательно, ни одна из частных производных не дифференцируема ни в одной точке из R. С другой стороны, существует единственная матрица В (нулевая матрица), такая что разложение Тейлора второго порядка (3) выполняется в точке с = 0. Конечно, мы не хотим сказать, что ф дважды дифференцируема в точке, когда ее частные производные не дифференцируемы в этой точке [c.143]
Итак, существование разложения Тейлора второго порядка в точке с не является, в общем случае, достаточным для дифференцируемости всех частных производных в с. Оно также не является и необходимым. То есть из того, что все частные производные дифференцируемы в с, не следует, в общем случае, разложение Тейлора второго порядка в этой точке. Мы вернемся к этому выводу в 9. [c.143]
Нетривиальный факт, что дважды дифференцируемость влечет за собой (но не следует сама) существование разложения Тейлора второго порядка будет доказан в 9. [c.144]
В 5 определение дважды дифференцируемости было мотивировано, в частности, тем требованием, чтобы из него следовало разложение Тейлора второго порядка. Давайте теперь докажем это утверждение. [c.150]
Чтобы доказать второе утверждение, необходимо дополнительно предположить, что ф дважды дифференцируема в с. Тогда по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.165]
Доказательство. Поскольку ф дважды дифференцируема в с, по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.168]
Кроме того, по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.175]
По условию теоремы ф и g дважды дифференцируемы в точке с, а значит, и дифференцируемы во всех точках некоторого n-мерного шара В (с) С 5. Пусть SQ — радиус этого шара. Поскольку ф дважды дифференцируема в с, то для всех и G С/( о) верна формула Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.185]
Для упрощения задачи заменим функцию и(.) ее квадратичной аппроксимацией, то есть разложением в ряд Тейлора вплоть до членов только второго порядка в некоторой точке (например, х = г0). Тогда функция U(.) примет вид [c.62]
Используя разложение по Тейлору до членов второго порядка, получаем [c.132]
Можно интерпретировать это как квадратичную аппроксимацию первоначальной элементарной функции полезности получаемую разложением в ряд Тейлора вплоть до членов второго порядка в некоторой точке [c.270]
РИС. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции "цена-доходность" на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т.д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации. [c.139]
Первый член рядов Тейлора, деленный на цену облигации, известен как модифицированная дюрация, второй член — как выпуклость. Члены более высокого порядка обычно считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации. [c.141]
Разложим я в ряд Тейлора по степеням а в точке ос и отбросим члены второго и более высоких порядков. Получим [c.401]
Тейлоризм (время наибольшей популярности — 1910—1940 годы). Назван по имени одного из основателей современного научного менеджмента Фредерика Тейлора (его главный труд, неоднократно переиздававшийся Тейлор Ф. У. Принципы научного менеджмента. М., 1991). Тейлор считал, что в западном обществе (в начале XX века) сформировался своего рода стереотип работы с прохладцей , когда работники в силу естественной склонности ( природной лени ) человека, а также в силу сложившейся культурной традиции круговой поруки нарочно замедляют темп работы. При этом Тейлор критически относился к потогонным системам организации труда, предъявляющим к работнику необоснованные требования относительно скорости и производительности работы. Золотая середина между потогонными системами и природной ленью заключается, по мнению Тейлора, именно в методах научного управления производством, в обязательном порядке включающих и такое важное направление, как управление временем (вторая глава книги Тейлора содержит много примеров настоящего ТМ-реинжиниринга). [c.93]
Отталкиваясь от этих фактов, мы определим дважды дифференцируе-мость так, чтобы из нее следовало как существование разложения Тейлора второго порядка, так и дифференцируемость всех частных производных. [c.144]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]