Лейбница) определённый интеграл функции равен разности двух значений [c.51]
Таким образом, с помощью формулы Ньютона- Лейбница устанавли- [c.51]
Власть, полученная в результате революционного переворота, обязательно связана с человеческими жертвами (просветитель надеется исправить мир просвещением, революционер — насилием). Она нацелена на то, чтобы одним махом изменить все и во всех сферах (Лейбниц). Но такая деятельность обречена на провал, так как она требует от человека начать новую жизнь, игнорирующую прошлую, что невозможно. Ведь прошлое органически вплетено в естество строителя новой жизни — человека (который жил и до революции), а перестроить свое естество мгновенно он не может. Поэтому изменить одним махом не удается, значит, изменения происходят и не так, и не такие, как предполагал революционер, и, как мы видим из истории, чаще совершенно противоположные. Таким образом, через какое-то время жизнь выявляет несостоятельность агрессивной идеи и, конечно, преступную неоправданность связанных с-ее реализацией безвинных человеческих жертв. Трагизм ситуации усугубляется еще ji тем, что добиваются власти революционным путем обычно в составе партии, отчего совесть каждого ее члена не слишком-то обременена духовными терзаниями — заговорщик надеется, во-первых, на то, что идея верна, если ее разделяют и другие, и, во-вторых, на соединенные силы своих товарищей (когда ты один, то надеяться можно только на Истину). Для человека же с не слишком высокими моральными качествами членство является своеобразной маской, за которой он может скрывать свою подлинную суть [c.317]
Все эти обозначения используются в современной математике и сейчас. Обозначение Лейбница используется преимущественно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оно удобно, например, при решении так называемых уравнений с разделяющимися переменными). Обозначение Коши используют чаще в теории уравнений математической физики. Обозначением Ньютона пользуются тогда, когда хотят подчеркнуть, что роль независимой переменной играет время. [c.107]
Лейбниц является одним из создателей анализа. Он изобрел также определители и сконструировал вычислительную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет посвятил Лейбниц усовершенствованию своего изобретения. Именно поэтому его можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он первым нарушил вековую традицию писать научные труды только на латинском языке. [c.108]
Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие. [c.108]
Формулу дифференцирования сложной функции легче запомнить, если воспользоваться обозначением Лейбница [c.117]
Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой ж интервала [а, ] он имеет высоту /(ж) и бесконечно [c.223]
Напомним, Лейбниц писал S = [ /(ж) dx. Символ f означал у [c.224]
Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х [c.224]
Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок. [c.224]
Формула Ньютона-Лейбница [c.237]
Формула Ньютона— Лейбница [c.237]
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция у — /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и F(x) — произвольная первообразная для /(ж) на [а, Ь]. Тогда определенный интеграл от функции /(ж) на [а, 6] равен разности значений первообразной F(x] для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е. [c.238]
Формула Ньютона-Лейбница 239 [c.239]
Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к отысканию неопределенного интеграла. Чтобы [c.239]
П Поскольку (и v = и v + и г , функция и v является первообразной для функции и v + и v. Тогда по формуле Ньютона Лейбница и свойству 2 получаем [c.243]
Формула Ньютона Лейбница 6 [c.245]
Таким образом, если функция f(x) непрерывна на всей числовой оси, то формула Ньютона Лейбница [c.265]
Большое внимание уделено автором практическим купеческим задачам, однако этим задачам суждено будет сыграть свою роль в развитии математики. Так, Пачоли исследует наилучшую систему гирь [Депман, 1965, с. 36], рассматривает правила учета векселей (в дальнейшем его изыскания продолжат такие великие математики, как Тарталья и Лейбниц), пишет о процентах и их исчислении, о составлении вспомогательных таблиц [Там же, с. 257]. Сюда же следует отнести и задачу о распределении выигрыша при игре в кости [Глейзер, 1970]. Эта задача послужила источником развития таких математических дисциплин, как комбинаторика и теория вероятностей. Однако решил ее Л. Пачоли неверно. [c.196]
Итак, учет ведется на предприятии и от имени предприятия, а бухгалтеры, в соответствии с принципом регистрации, работая по любой системе, обязаны фиксировать все факты хозяйственной жизни. Первичная регистрация фактов предполагает действие логического закона достаточного основания, сформулированного великим немецким философом Г. В. Лейбницем (1646—1716) ... ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым... без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе [Лейбниц, с. 347]. Для бухгалтерского учета это означает, что ни один факт хозяйственной жизни не может рассматриваться как истинный или действительный, если он не зарегистрирован в первичном документе, и только первичный документ служит достаточным основанием того, почему именно дело обстоит так, а не иначе , причем регистрация фактов влечет за собой последующую регистрацию документов. Создатель современной статистики Адольф Кетле (1796—-1874) сформулировал требования, которые имеют большое значение для построения правильной системы учета. Во-первых, при обследовании должны использоваться только безусловно необходимые сведения в учете часто практикуют получение сведений, без которых вполне можно обойтись, сведения на всякий случай, для архива и т.д. Это так [c.32]
Моделирование — способ описать факты хозяйственной жизни. Однако слишком часто построить модель бывает легче, чем понять факт. Первой (первичной) моделью факта хозяйственной жизни выступает документ, но счетоведение позволяет построить модели и самих документов, применяемых в счетоводстве. В основе факта хозяйственной жизни, и это надо понять, лежит логический закон достаточного основания, предложенный Лейбницем и четко сформулированный Х.Вольфом (1679—1754), который гласит Ничто не существует без основания того, почему оно есть [Цит. Шопенгауэр, с. 9]. [c.173]
В эпоху Возрождения традиции Античности и Средневековья приняли новую значимость. Понятие мудрость и знание рассматривались как синонимы. В эту эпоху впервые Т.Гоббсом было применено понятие ценность а Г.Лейбниц определил его предметное содержание. Развитие производства, торговли и науки привело к повышению ценности образования и научного знания., - [c.80]
Классики экономической науки (А. Смит, К Маркс, А. Маршалл) пытались дойти до сути, истоков изучаемых явлений и оэтому использовали преимущественно дедуктивные методы. В определенной мере это было связано с традициями Б. Спинозы и Г. Лейбница. Первый из названных философов построил свою этическую систему по аналогии с геометрией Евклида. Это видно из названия основного сочинения Спинозы — "Этика, доказанная в геометрическом порядке", — где есть такие утверждения "Я собираюсь исследовать человеческие пороки и глупости геометрическим путем... и буду рас- [c.26]
Лейбниц пытался создать такую систему логики, при которой словесные аргументы можно было бы свести к анализу логических формул. "Он всю жизнь лелеял надежду открыть своего рода обобщенную математику, названную им " hara teristi a Universalis", с помощью которой можно было бы заменить мышление исчислением. "Если бы она была у нас, — говорил он, — мы бы имели возможность рассуждать в области метафизики и нравственности точно так же, как мы делаем это в области геометрии и математического анализа. Если бы возникли противоречия, нужды в спорах между двумя философами было бы не больше, чем между двумя бухгалтерами, так как им было бы достаточно взять в руки карандаш, сесть за грифельные доски и сказать друг другу (если они хотят, при наличии доброжелательного свидетеля) давайте подсчитаем" [Рассел. 1998. С. 670—671]. [c.27]
Эта задача не решена до сих пор, но Лейбниц внес большой вклад в развитие формальной логики и может считаться основоположником математической логики. В частности, он дополнил законы Аристотеля (тождества, противоречия, исключенного третьего) законом достаточного основания, который через 150 лет стал основой диссертации А. Шопенгауэра на тему "О четверичном корне закона достаточного основания". [c.27]
Интерес Г. Беккера к религии, возможно, обусловлен тем, что на банкнотах долларов США есть надпись "In God We Trust" ("Мы верим в Бога"). Несмотря на этот лозунг, количество финансовых афер в США больше, чем во многих других странах [Известия. 2001. 16 июня. С. 5]. На банкнотах немецкой марки (DM) нет любимого лозунга солдат третьего рейха "Gott mit uns" ("С нами Бог"). Такую надпись можно увидеть в" кирхах Германии, а на бумажных деньгах этой страны помещены портреты ГеТе, Лейбница, Гаусса и других деятелей немецкой культуры. Купюру в 10 DM украшает портрет великого математикачКарла Фридриха Гаусса на фоне кривой нормального закона распределения вероятностей. Хочется надеяться, что огда-нибудь на российских десятирублевках появятся портреты Пушкина на фоне лукоморья с зеленым дубом, золотой цепью и ученым котом. [c.258]
Продолжится увядание творческого потенциала культуры. Место Галилея и Ньютона, Лейбница и Дарвина, Канта и Гегеля, Баха и Бетховена, Шекспира и Данте, Рафаэля и Рембрандта займут посредственные псевдомыслители, ремесленники от науки, от музыки, от художественной литературы, шоумейкеры — один вульгарнее другого... количественная гигантомания вытеснит качественную утонченность бестселлер вместо классики, блестящая внешность вместо внутреннего содержания... подражание вместо творчества сенсационный успех вместо обстоятельной оценки мышление заменится "поиском информации" вместо мудрецов будут "шустрые Алексы" вместо.великих лидеров — мошенники даже величайшие культурные ценности прошлого подвергнутся унижению. Бетховены и Бахи станут привесками к велеречивому пустозвонству, рекламирующему слабительные средства, жвачки, кукурузные хлопья, пиво и прочие удовольствия. [c.324]
Популяризатором первого варианта толкования термина является немецкий филосо-идеалист, математик, физик и языковед Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716 гг.). Он называл логистику математической логикой. Позже этот термин за математической логикой был закреплен на философской конференции в Женеве в 1904 г. [c.8]
ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646 1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед, член Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук. Родился в Лейпциге. В 17 лет защитил диссертацию на степень бакалавра, в 18 лет — магистра философии и в 20 лет — доктора права. [c.108]
В философии Лейбниц явился завершителем философии XVIII века, предшественником немецкой классической философии. В физике он развивал учение об относительности пространства, времени и движения. Лейбниц установил в качестве меры движения живую силу (кинетическую энергию) — произведение массы тела на квадрат скорости. В языкознании создал теорию исторического происхождения языков, дал их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Является одним из создателей научного лексикона. С именем Лейбница в науке связано также много других открытий и гипотез. [c.109]
РОЛЛЬ (Rolle) Мишель (1652 1719) — французский математик, член Парижской Академии наук. В 23 года решил одну из задач, которую не смог до конца решить известный в то время математик УК. Озанам. Впоследствии чисто алгебраическими средствами для случая многочлена доказал теорему, которая теперь носит его имя. Ролль долгое время критиковал анализ Р. Декарта и исчисление бесконечно малых Г. Лейбница. Хотя эта критика в большинстве случаев была бездоказательной, но она заставила Г. Лейбница внимательнее отнестись к обоснованию основ анализа. [c.130]
ВЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Иоганн I (1667-1748) — швейцарский математик, иностранный почетный член Петербургской Академии наук (1725), профессор математики Гронингенского и Базельского университетов. Был деятельным соратником немецкого ученого Г. Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Он развил теорию показательной функции, вывел правило раскрытия неопределенностей типа - (носящее имя Лопиталя-Бернулли), указал методы [c.132]
БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Якоб (1654-1705) — самый знаменитый из трех выдающихся поколений математиков Бернулли (Базель, Швейцария), применившими и развившими дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница. Он был также автором первого трактата по математической теории вероятностей. [c.203]
Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые XVII века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах [c.222]
Г. Лейбниц свел частные и разрозненные приемы вычисления площадей, проведения касательных и т. п. в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определенного алгоритма. При этом дифференциал в основном понимался как бесконечно малая разность двух соседних значений величины (отсюда его символ d — первая буква латинского слова differentia (дифференция) — разность, [c.222]
Формула названа в честь Ньютона и Лейбница, хотя она была установлена еще Барроу, учителем Ньютона. [c.239]