Поставленный в предыдущем пункте вопрос о полноте информации об относительной важности критериев теперь в геометрических терминах примет следующую форму насколько близким к неизвестному отношению предпочтения у можно получить отношение >и, используя лишь различного рода конечные непротиворечивые наборы векторов и1, и1,..., ик. Другими словами, имеется ли принципиальная возможность за счет выбора указанного набора векторов сколь угодно точно приблизить отношение >м к неизвестному отношению предпочтения >- [c.133]
Набор информации об относительной важности критериев 94, 119 Непротиворечивый набор векторов 112 [c.172]
Критерии непротиворечивости. Здесь будут даны три критерия непротиворечивости конечного набора векторов. Один из них имеет геометрическую форму, второй представляет собой алгебраический вариант, а третий — алгоритмический, удобный для реализации в среде программирования. [c.113]
А На основе определения 4.1 и следствия 2. можно заключить, что набор векторов (4.12) будет непротиворечивым тогда и только тогда, когда существует конусное отношение с острым выпуклым конусом М(без нуля), для которого выполняются соотношения [c.113]
Следствие 4.1. Если имеется в точности одно сообщение об относительной важности критериев, то вектор, порождающий эту информацию, образует непротиворечивый набор. Набор пар векторов (4.12) может оказаться противоречивым лишь в том случае, когда число пар векторов данного набора более одной. [c.115]
Теперь сформулируем еще один критерий для проверки непротиворечивости (точнее говоря, противоречивости) набора векторов. [c.116]
Пусть имеется непротиворечивый набор пар векторов (4.12). Добавим к нему еще одну такую пару векторов uk+1, vk+ что ик+ vk+i e pjm g результате получим расширенный набор пар векторов [c.117]
Определение 4.2. Для непротиворечивого набора пар векторов (4.12) пару uk+l, vk+[ будем называть существенной, если выпуклый конус, порожденный единичными векторами е ег,..., ет вместе с векторами и - v, i = 1, 2,..., к + 1, не совпадает с выпуклым конусом, порожденным теми же самыми единичными векторами и векторами и - v, i — I, 2,..., к. [c.117]
А Сначала решим вопрос с непротиворечивостью. Согласно алгебраическому критерию непротиворечивости расширенный набор векторов (4.18) будет совместным тогда и только тогда, когда однородная система линейных уравнений [c.118]
Имея в распоряжении алгоритм, о котором идет речь в сформулированной выше задаче, можно для любого конечного непротиворечивого набора информации об относительной важности критериев за обозримое время получать формулы для пересчета старого векторного критерия и образования нового, на основе которого строится оценка сверху для множества выбираемых решений (векторов). [c.124]
Шаг 1. Прежде всего, рекомендуется проверить совместность (непротиворечивость) набора пар векторов u, v e Rm, для которых выполняется и - и е Nm,i = 1, 2,..., к. Такая проверка сводится к решению канонической задачи линейного программирования (4.17). Если в результате решения этой задачи оптимальное значение целевой функции оказалось равным нулю, то вычисления следует закончить, так как данный набор пар векторов противоречив. Если же это значение положительно, то необходимо перейти к следующему шагу. [c.129]
Как указано в предыдущем разделе, наличие конечного набора информации об относительной важности критериев равносильно заданию некоторого непротиворечивого конечного набора векторов и[, и2,. .., ик Nm, которые вместе с единичными ортами < , е2,. .., ет порождают многогранный конус М, содержащийся в конусе К. [c.137]
Определение 4.1. Пусть имеется набор пар векторов (4.12). Будем называть этот набор непротиворечивым (совместным), если существует хотя бы одно бинарное отношение у, подчиненное аксиомам 2-4 и такое, что выполняются соотношения и у Vs, s = 1,2,. .., ). [c.112]
Теорема 4.6 (геометрический критерий непротиворечивости). Для того чтобы набор пар векторов (4.12) был непротиворечивым, необходимо и достаточно, чтобы конус, порожденный векторами [c.113]
Теорема 4.7 (алгебраический критерий непротиворечивости). Дая того чтобы набор пар векторов (4.12) был непротиворечивым, необходимо и достаточно, чтобы однородная система линейных уравнений [c.114]
Следствие 4.2. Пусть имеются две группы номеров критериев is е I,js e I,s = I, 2,. ..,k,
Следствие 4.3. Набор пар векторов (4.12) является непротиворечивым, если он удовлетворяет следующим условиям у каждого вектора us - Vs все компоненты, номера которых принадлежат множеству A s, A s с I, положительны, все компоненты, номера которых принадлежат множеству Bs, Bs с /, отрицательны, а все остальные компоненты равны нулю, s = 1,2,. .., к, причем для любой пары различных номеров i,j 1,2,. .., к выполняется равенство А/ П Bj = 0. [c.116]
Непротиворечивость набора векторов является необходимым условием того, чтобы он задавал набор информации об относительной важности критериев хотя бы в какой-то одной многокритериальной задаче выбора. Таким образом, непротиворечи- [c.112]
Необходимость. Пусть набор векторов (4.12) является непротиворечивым. Тогда в силу сказанного в начале доказательства существует острый выпуклый конус М (без нуля), для которого верно (4.14). Векторы (4.13) принадлежат конусу Ми порождают в общем случае некоторый выпуклый подконус конуса М. Поскольку подконус острого конуса сам является острым, то набор векторов (4.13) порождает острый выпуклый конус. [c.114]
Теорема 4.9 (критерий непротиворечивости и существенности). Пусть набор пар векторов (4.12) является непротиворечивым. Для того чтобы расширенный набор (4.18) одновременно был непро-тиворечивым, а пара векторов и, v являлась существенной, необходимо и достаточно, чтобы обе системы однородных линейных уравнений [c.118]