Если А есть симметрическая п х п матрица, а А есть k х k главная подматрица Л, то доказать, что [c.262]
Ak главная подматрица размера k x /г, 48 [c.486]
Важным (хотя и простым) свойством классов Р, PSD, SS, RS, S и S является их полнота в следующем смысле перечисленные классы содержат все главные подматрицы своих членов. Напомним также, что для симметричных матриц эквивалентны условия [c.11]
Итак, пусть 0 z > О и М меняет знак z. Определим множество К = г > 0 . Предполагая, что К 0, выделим М — главную подматрицу М, получаемую из нее удалением тех строк и столбцов, номера которых не входят в К. Пусть также z — вектор, получаемый из z аналогичным образом. Матрица М — также Р-матрица и меняет знак z. Поскольку все Zi > 0, то должно выполняться неравенство М z < 0. В силу леммы 7.1 это отвергает гипотезу о принадлежности М классу Р. Необходимость доказана. [c.28]
Перейдем к обоснованию достаточности. Пусть М = (а ) — произвольная главная подматрица матрицы М, К — множество номеров входящих в нее строк и столбцов. Если ее определитель не положителен, М должна иметь хотя бы одно неположительное вещественное собственное значение и соответствующий ему ненулевой вещественный собственный вектор z (это следует из того, что определитель матрицы есть произведение всех ее собственных значений, причем комплексные значения образуют сопряженные пары). Если теперь дополнить вектор z до размерности п нулями в позициях вне К, мы получим вектор z, знак которого меняется над действием матрицы М. Полученное противоречие доказывает достаточность. [c.28]
Свойство 6. Каждая главная подматрица строчно(столбцово)-достаточной матрицы сама строчно(столбцово)-достаточна. [c.76]
Рассмотрим систему (1.2). Пусть для некоторого набора индексов а с 1,. .., те главная подматрица Маа матрицы М не вырождена. Прибегая в случае необходимости к подходящему главному переупорядочению М, можно считать Маа ведущей главной подматрицей. Уравнения (1.2) примут вид [c.77]
Теорема 1.2. Пусть Маа — невырожденная главная подматрица матрицы М. Если М строчно-достаточна, то такой же будет и М = ра (М). [c.79]
Он получен путем вычеркивания всех строк и столбцов матрицы А, за исключением тех, у которых номера t и /. Этот результат о главных минорах следует из (4.65), если взять единичную матрицу порядка п X п, вычеркнуть из нее те же столбцы, что должны быть вычеркнуты из матрицы А для получения соответствующего главного минора, и обозначить полученную подматрицу единичной матрицы через В. Например, если [c.111]
Подматрицы, стоящие вне главной диагонали матрицы из правой части второго уравнения (7.43), взяты равными нулю в соответствии с предположением о независимости между выборкой и предварительной информацией. Обыкновенный метод наименьших квадратов нельзя непосредственно применить для оценивания Р в уравнении (7.42), поскольку соответствующая матрица ковариаций не будет равна o2In + g. Однако обобщенный метод наименьших квадратов подходит для осуществления процедуры оценивания и дает нам [c.221]